27. Моделирование инерционных систем

Макромодель – укрупненная математическая (компъютерная) модель, в которой струк-тура объекта отображена упрощенно, на уровне некоторых блоков, а не на уровне отдель-ных элементов.

Рассмотрим проблему моделирования динамики системы с одним входом и одним вы-ходом. Обозначим через V , U - состояния входа и выхода, соответственно. На рис. 1 показана типичная реакция системы на ступенчатое воздействие V(t) с амплитудой V_m . Предполагается, что входной сигнал описывается следующими выражениями.

Переходной процесс типа "0-1":

V(t) = 0 , если t < 0 ,

= U_m , если t  0 .

Переходной процесс типа "1-0":

V(t) = U_m , если t < 0 ,

= 0 , если t  0 .

U U

U_m U_m

0.9U_m 0.9U_m

0.1U_m 0.1U_m

0 0

_з _ф t _з _ф t

Рис. 1. Параметры переходных процессов

Для описания инерционных свойств системы обычно используют два основных пара-метра, смысл которых виден из рисунка: время задержки _з (эффект памяти) и время фронта _ф (эффект инерционности).

Для моделирования инерционных свойств системы можно использовать различные подходы, рассмотрим один из наиболее чато применяемых – метод электрических аналогий. В этом случае используется специальная электрическая эквивалентная схема – т.н. инерционное звено. Простейшим его вариантом является ERC-цепь, позанная на рис.2. Недостатком такого инерционного звена является то, что соотношение между параметрами _з и _ф является фиксированным ( нетрудно убедиться, что отношение _з/_ф всегда равно 0.048 ), что часто не обеспечивает необходимую гибкость модели в целом. Лучший результат можно получить, если использовать многозвенную ERC-цепь, однако, с одной стороны, никакая конечная N-звенная ERC-цепь не может обеспечить любое заданное соотношение между _з и _ф , а с другой, она порождает слишком большое число уравнений.

R U_c

E(t) E C U_c(t)

t

_з _ф

Рис. 2. Простейшее инерционное звено - ERC-цепь

Простым решением указанной проблемы является т.н. гибкое инерционное звено, схема которого приведена на рис. 3. Особенностью его является то, что оно содержит зависимый

R₁ R₂(I₁)

E(t)

C₁

I₁ I₂ C₂ U(t)

Рис. 3. Гибкое инерционное звено

резистивный элемент R₂ , сопротивление которого определяется током, протекающим через цепочку R₁C₁ :

R₂(I₁) = R_o + aI₁ .

Система уравнений, описывающая динамику инерционного звена, имеет вид:

(1)

где

. (2)

Пусть величины _з и _ф заданы. Обозначим

(3)

Можно показать, что параметры _з и _ф будут реализованы, если последние параметры будут удовлетворять следующим уравнениям:

(4)

Отношение _з/_ф определяется параметром :

. (5)

Из последнего выражения следует, что при    _з/_ф  0.048 , т.е. при больших  инерционное звено ведет себя также, как и ERC-цепь. В то время при   0 получаем _з/_ф  , т.е. при малых  инерционное звено ведет себя подобно идеальной линии задержки.