![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Случайные события. Достоверное и невозможное события. Совместимые, несовместимые и противоположные события.
- •2.Определение классической вероятности. Полная группа событий, элементарные события.
- •3.Статистическое определение вероятности. Частота события.
- •4.Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания и перестановки.
- •5.Теорема сложения вероятностей совместимых событий. Сумма и произведение событий.
- •6.Теорема умножения вероятностей. Зависимые и независимые события, условная вероятность.
- •7. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Сумма событий.
- •8.Формула полной вероятности. Произведение событий. Формула Байеса.
- •9.Понятие св. Дискретные и непрерывные св.
- •10.Закон распределения дискретной св. Примеры.
- •11.Функция распределения св и ёё свойства.
- •12.Мат.Ожидание дсв. Теорема о мат.Ожидании.
- •13. Свойства мат.Ожидания дсв.
- •18.Плотность вероятности нсв и её свойства.
- •19.Мат.Ожидание,дисперсия и среднее квадратическое отклонение нсв
- •20 Биноминальное распределение
- •21.Геометрическое распределение
- •22.Равномерное распределение непрерывной случайной величины
- •24.Закон нормального распределения
- •26.Основные понятия многомерных св.
- •27.Закон распределения вероятностей двумерной дсв.
- •28.Функция распределения двумерной св и её свойства.
- •33.Генеральная и выборочная совокупности.
- •34.Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка.
- •35.Способы отбора в выборочную совокупность.
- •36.Стат.Распределение выборки или вариационный ряд.
- •37.Эмпирическая функция распределения и её свойства.
- •38.Графическое представление выборки. Полигон и гистограмма.
- •39. Стат.Оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •40.Генеральная и выборочная средняя.
- •41.Генеральная и выборочная дисперсия.
- •42.Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.
- •43.Вычисление числовых характеристик вариационного ряда с помощью условных вариант.
- •44.Метод моментов для оценки вариационного ряда.
- •45.Метод наибольшего правдоподобия для оценки параметров распределения.
- •46. Метод наибольшего правдоподобия для биноминального распределения
- •47. Метод наибольшего правдоподобия для пуассоновского распределения
- •48.Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •49.Интервальные оценки числовых характеристик
21.Геометрическое распределение
Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину x - число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой
pk = P(x= k)
= qk-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … ,
,
,
.
Гипергеометрическое распределение
В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим x. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:
,
k = 0, 1, …, min(n,M), ,
,
22.Равномерное распределение непрерывной случайной величины
Определение.
Непрерывная случайная величина имеет
равномерное
распределение
на отрезке [a,
b], если на
этом отрезке плотность распределения
случайной величины постоянна, а вне его
равна нулю.
Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения. f(x)
0 a b x
Получаем.
Найдем
функцию распределения F(x)
на отрезке [a,b].
Для
того, чтобы случайная величина подчинялась
закону равномерного распределения
необходимо, чтобы ее значения лежали
внутри некоторого определенного
интервала, и внутри этого интервала
значения этой случайной величины были
бы равновероятны. Определим математическое
ожидание и дисперсию случайной величины,
подчиненной равномерному закону
распределения.
Вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал:
23.Показательное
распределение.
Показательным
(экспоненциальным) называют
распределение вероятностей непрерывной
случайной величины Х,
которое описывается плотностью
В
отличие от нормального распределения,
показательный закон определяется только
одним параметром λ.
В этом его преимущество, так как обычно
параметры распределения заранее не
известны и их приходится оценивать
приближенно. Понятно, что оценить один
параметр проще, чем несколько.
Найдем функцию
распределения показательного закона:
Следовательно,
Теперь можно найти вероятность попадания
показательно распределенной случайной
величины в интервал (а,
b):
.
Значения функции е-х
можно найти из таблиц. Функция надежности.
Пусть элемент
(то есть
некоторое устройство) начинает работать
в момент времени t0
= 0 и должен
проработать в течение периода времени
t.
Обозначим за Т
непрерывную случайную величину – время
безотказной работы элемента, тогда
функция F(t)
= p(T
> t) определяет
вероятность отказа за время t.
Следовательно, вероятность безотказной
работы за это же время равна R(t)
= p(T
> t) = 1 –
F(t).
Эта функция называется функцией
надежности.
Показательный закон надежности. Часто
длительность безотказной работы элемента
имеет показательное распределение, то
есть F(t)
= 1 – e-λt
. Следовательно,
функция надежности в этом случае имеет
вид:
R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e-λt) = e-λt . Определение 6.4. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством R(t) = e-λt где λ – интенсивность отказов. Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f(t) = 0,1 e-0,1t при t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов. Решение. Так как λ = 0,1, R(10) = e-0,1·10 = e-1 = 0,368.