7. Элементы теории статистических решений. Игры с природой

7.1. Структура статистических игр

В предыдущих разделах мы рассматривали стратегические игры, в основе которых лежит предположение, что интересы игроков либо противоположны, либо просто не совпадают. Каждый из игроков стремится выбрать свою стратегию таким образом, чтобы получить для себя наибольшую выгоду и свести до минимума выгоду противника, то есть, в этих играх каждый игрок действует активно и стремится по возможности использовать оптимальную стратегию. При этом считается, что неопределенность исходов в большинстве задач может проявляться в результате сознательных действий других участников игры и каким-то образом может быть предсказана или спрогнозирована

Специфическим видом игр, нередко встречающихся на практике и имеющих большое значение при анализе различных практических ситуаций, являются статистические игры. Они имеют ряд существенных отличий от стратегических игр. Основное отличие заключается в том, что один из игроков является нейтральным, то есть, таким, который не стремится извлечь для себя максимальной выгоды и, следовательно, не стремится обратить в свою пользу ошибки, совершаемые противником. В этих играх неопределенность проявляется как результат действия тех или иных факторов непознанной природы. К таким играм относятся игры, в которых в качестве одного из игроков выступает природа.

Игры, в которых один участник – природа, а другой – человек, называются статистическими играми или играми с природой, а теорию таких игр называют теорией статистических решений

При этом в понятие «природа» вкладывается вся совокупность внешних обстоятельств, в которых приходится принимать решение, то есть, термин «природа» может быть использован как в традиционном смысле, означающем окружающую среду, погодные условия в данном районе, так и условия рынка, определяющие спрос на продукцию, объем перевозок, некоторое сочетание производственных факторов и т.д.

В статистических играх в качестве лица, принимающего решение (ЛПР), выступает только один из участников – человек. Неопределенная для ЛПР ситуация в его “игре” с природой не имеет выраженной конфликтной окраски. Другими словами, природа не имеет злого умысла по отношению к человеку. Она просто развивается и действует в соответствии со своими законами и во власти человека обратить эти законы себе на пользу.

В игре с природой человеку, выступающему в качестве лица, принимающего решение (ЛПР), никто активно не мешает, но ему труднее обосновать свой выбор, чем в антагонистической игре, где противник также придерживается определенных правил выбора оптимального поведения и его действия каким-то образом могут быть предсказаны или спрогнозированы.

Человек (игрок 1) в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя некоторую оптимальную стратегию, позволяющую получить наибольший выигрыш или наименьший проигрыш. Игрок 2 (природа) действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как ее состояния.

В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других - оно неизвестно. Функция выигрыша (или функция потерь) может быть задана либо аналитически, либо, как и в рассмотренных ранее играх, в виде матрицы

	Р1	Р2	…	Рn
A1	a11	a12	...	a1n
A2	a21	a22	...	a2n
…	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	amn

Элемент a_ij равен выигрышу человека (игрока А), если он использует стратегию A_i, а состояние природы - P_j.

Если бы человек совершенно точно знал законы природы, он мог бы их использовать с максимальной для себя выгодой. Однако во многих случаях человек или не знает законов природы, или знает их недостаточно полно.

Неизбежной платой за попытку получить выигрыш в условиях неполной информации о законах природы является возможность принятия ошибочных решений. При этом практически ситуации бывают таковы, что отказаться вообще от принятия какого-либо решения бывает невозможно.

К тому же решение отказаться от принятия решения также есть решение, как и другие решения. Единственный выход из создавшейся ситуации – выработка человеком такой стратегии, которая хотя и не исключает возможность принятия неправильных решений, но сводит к минимуму связанные с этим нежелательные последствия.

Правда у человека есть еще возможность изучать противника, то есть, природу, посредством проведения эксперимента. Теоретически путем проведения неограниченного эксперимента можем сделать свои знания о природе сколь угодно полными и действовать уже в условиях полной определенности. Однако этому мешают два обстоятельства: 1) на проведение эксперимента требуется время, тогда как решение во многих случаях нужно принять быстро; 2) эксперимент требует затрат средств, то есть, может стоит дорого – дороже того выигрыша, который дают добавочные знания, полученные в результате эксперимента.

Игра с природой описывается, разумеется, при условии, что рассматривается конечное число “стратегий” природы, то есть реализаций тех или иных ее состояний. Человек – игрок, максимизирующий свой выигрыш. Поэтому можно говорить о выделении множества его стратегий, оптимальных в смысле Парето, то есть, о вычеркивании дублирующих и доминируемых стратегий в процессе упрощения игры. Но выделять паретовское множество стратегий природы (игрока 2) нельзя, так как она не руководствуется никакими принципами оптимальности – это второе существенное отличие игры с природой от антагонистической.

Третьей отличительной чертой игры с природой является тот факт, что стратегии природы за редчайшим исключением нельзя смешивать, то есть, следует считать, что природа оперирует только чистыми стратегиями. Однако, в ситуациях, когда игра с природой может многократно повторяться, из прошлого опыта или по результатам эксперимента бывает известно, как часто природа «применяет» ту или иную из своих чистых стратегий, то есть, бывают известны некоторые вероятности q_j, называемые априорными вероятностями состояний природы. Это априорное распределение вероятностей условно принимают в качестве смешанной стратегии природы.