- •1.Случайные события. Достоверное и невозможное события. Совместимые, несовместимые и противоположные события.
- •2.Определение классической вероятности. Полная группа событий, элементарные события.
- •3.Статистическое определение вероятности. Частота события.
- •4.Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания и перестановки.
- •5.Теорема сложения вероятностей совместимых событий. Сумма и произведение событий.
- •6.Теорема умножения вероятностей. Зависимые и независимые события, условная вероятность.
- •7. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Сумма событий.
- •8.Формула полной вероятности. Произведение событий. Формула Байеса.
- •9.Понятие св. Дискретные и непрерывные св.
- •10.Закон распределения дискретной св. Примеры.
- •11.Функция распределения св и ёё свойства.
- •12.Мат.Ожидание дсв. Теорема о мат.Ожидании.
- •13. Свойства мат.Ожидания дсв.
- •18.Плотность вероятности нсв и её свойства.
- •19.Мат.Ожидание,дисперсия и среднее квадратическое отклонение нсв
- •20 Биноминальное распределение
- •21.Геометрическое распределение
- •22.Равномерное распределение непрерывной случайной величины
- •24.Закон нормального распределения
- •26.Основные понятия многомерных св.
- •27.Закон распределения вероятностей двумерной дсв.
- •28.Функция распределения двумерной св и её свойства.
- •33.Генеральная и выборочная совокупности.
- •34.Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка.
- •35.Способы отбора в выборочную совокупность.
- •36.Стат.Распределение выборки или вариационный ряд.
- •37.Эмпирическая функция распределения и её свойства.
- •38.Графическое представление выборки. Полигон и гистограмма.
- •39. Стат.Оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •40.Генеральная и выборочная средняя.
- •41.Генеральная и выборочная дисперсия.
- •42.Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.
- •43.Вычисление числовых характеристик вариационного ряда с помощью условных вариант.
- •44.Метод моментов для оценки вариационного ряда.
- •45.Метод наибольшего правдоподобия для оценки параметров распределения.
- •46. Метод наибольшего правдоподобия для биноминального распределения
- •47. Метод наибольшего правдоподобия для пуассоновского распределения
- •48.Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •49.Интервальные оценки числовых характеристик
7. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Сумма событий.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме их вероятности. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Сумма двух событий А и В – событие С, кот. состоит в том что произошло хотя бы одно из событий А или В и обозначается А+В=С
8.Формула полной вероятности. Произведение событий. Формула Байеса.
Рассмотрим событие А, кот. Может наступить только при наступлении 1-ого из событий В1, В2,…,Вn, образующих полную группу попарно несовместимых событий.
Теорема. Если А может наступить только при наступлении одного из В1,…,Вn, образующих полную группу несовместимых событий, тогда вероятность события А определяется формулой полной вероятности.
Р(А)=Σ Р(Вi)*Рbj(А)
Формула Байеса. Рассмотрим событие А в условиях полной вероятности. Необходимо определить вер-ть события Вk, если А произошло.
Ра(Вk)=Р(Вk)*Рbk(А)\Σ Р(Вi)*Рbi(А)
9.Понятие св. Дискретные и непрерывные св.
СВ – переменная, кот. В зависимости от исхода испытания принимает случайное значение из множества возможных (Х, У,Z….- величины, x, y, z – значения) Х=хi
Дискретная СВ – СВ, кот. Может принимать конечное число значений, либо бесконечное счетное число значений. Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из изолированного дискретного множества значений. Они хорошо подходят для описания результатов измерений, связанных с подсчетом и выражаемых целыми числами. Примеры дискретных случайных величин: оценка, полученная на экзамене, число попаданий в мишень в серии из 10 выстрелов и т. п.
Непрерывная СВ – СВ, кот. Может принимать любое действительное значение из некоторого интервала.
10.Закон распределения дискретной св. Примеры.
Закон распределения СВ – любое соответствие установленное между значениями случайной величины и вероятностями с кот. Эти значения принимаются.
Закон м.б. задан в виде таблицы, аналитически (формулы), графически.
Обычно закон распределения записывается в виде таблицы вида
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
.. |
Р |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
11.Функция распределения св и ёё свойства.
Функция распределения СВ Х-функция, выражающая для каждого Х вероятность того, что СВ принимает значение меньше Х. Обозначение: F(x)=P(X<x).Функция распределения определяется одинакого для непрерывных и случайных величин.
Свойства:
1.Функция распределения – неотрицательная функция, принимающая значения от 0 до 1, т.к. ф-ия распределения –вероятность события Х<х 0≤F(x)≤1
2.Неубывающая функция, т.е. х2>х1=>F(x2)≥F(x1)
3. Функция распред. В -∞ равна 0, а в +∞ равна 1.
4.Вероятность попадания значений величины в заданный интервал определяется формулой. P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1)
12.Мат.Ожидание дсв. Теорема о мат.Ожидании.
Мат.ожидание ДСВ –сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть СВ Х может принимать только значения х1, х2,….,хn, вероятности которых соответственно равны р1,р2,…,рn. Тогда мат.ожидание М(Х)=х1р1+х2р2+….+хnрn.
Если ДСВ Х принимает счетное множество возможных значений, то М(Х)=Σ хiрi, причем мат.ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.