1. 2. Линейные дифференциальные уравнения второго

порядка.

Уравнение (1)

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если , то уравнение (1) называется неоднородным.

Если , то уравнение (2)

называется однородным.

Для однородного уравнения справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функции и являются решениями одно-

родного уравнения (2), то функция , где С₁ и С₂ – постоянные, также есть решение этого уравнения.

Определение. Два решения и уравнения (2) называются линейно независимыми, если их отношение отлично от постоянной величины. В противном случае решения называются линейно зависимыми.

Для нахождения общего решения однородного уравнения достаточно

найти два линейно независимых его решения.

Способ решения неоднородных уравнений (1) определяется следую-

щей теоремой.

Теорема. Общее решение у неоднородного уравнения (1) равно сум-

ме общего решения соответствующего однородного уравнения (2) и какого − нибудь частного решения уравнения (1), то есть .

1. 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение , (1)

где p и q – действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (1) находится с помощью характеристи-

ческого уравнения , получаемого из данного уравнения (1),

если сохраняя в нем коэффициенты р и q, заменить функцию у единицей,

а все ее производные соответствующими степенями к.

При этом:

1) Если корни к₁ и к₂ характеристического уравнения действитель-

ные различные, то общее решение уравнения (1) выражается формулой

. (2)

2) Если характеристическое уравнение имеет действительные равные корни к₁ = к₂ , то общее решение уравнения (1) выражается формулой

. (3)

3) Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни

i , то общее решение уравнения (1) есть

. (4)

Пример 1. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Для нахождения общего решения данного уравнения сос-

тавляем характеристическое уравнение к² −4к +3 = 0, имеющее корнями

числа к₁ = 1, к₂ = 3. По правилу 1) общим решением данного уравнения

является функция .

Используя начальные условия, определяем значения постоянных С₁

и С₂ . Подставляя в общее решение заданные значения х = 0, у = 6 (первое

начальное условие), получим 6 = С₁ + С₂ .

Дифференцируя общее решение уравнения, имеем

И подставляя в полученное выражение х = 0, у = 10 (второе начальное условие), получаем второе уравнение с неизвестными С₁ и С₂ :

10 = С₁ + 3С₂ .

Решая полученную систему уравнений

, находим С₁ = 4, С₂ = 2 .

Подставляя значения С₁ = 4 и С₂ = 2 в общее решение уравнения,

получим искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее

заданным начальным условиям:

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни

.

По формуле (4) общее решение данного уравнения имеет вид

. Полагая в этом равенстве α = 0, β = 4, получим общее решение данного уравнения: .