2. Экстремумы функции.

Определение 1. Функция имеет максимум

при х = х₁ (в точке х₁), если ее значение больше значений функции во всех точках х окрестности точки х₁, то есть (рис. 32).

Определение 2. Функция имеет минимум

при х = х₂ (в точке х₂), если ее значение мень-

ше значений функции во всех точках х окрестнос-

Рис.4

ти точки х₂, то есть (рис. 4)

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами, а те

значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, назы-

ваются точками ее экстремума.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума функции)

Если функция имеет в точке х₁ экстремум, то .

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются

стационарными.

Непрерывная функция может иметь экстремум и в точках ее недиф-

ференцируемости.

Например, функция (рис.5) в точке О имеет максимум, но не имеет в этой точке производной.

Следовательно, функция может иметь экстре-

мум либо в точках, где ее производная равна нулю,

либо в точках, где производная не существует.

Точки, в которых производная функции равна

Рис. 5

нулю или не существует, называются критическими точками функции.

Теорема 2. (Первый достаточный признак экстремума функции)

Если слева от критической точки х₁ функции ее производная у′ положительна (отрицательна), а справа – отрицательна (положительна),то х₁ есть точка максимума (минимума) функции .

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем производную данной функции:

Производная у′ равна нулю при х = 2; у′ не существует при х = 0. Значит, имеем две критические точки. Определим интервалы знакопостоянства производной у′ в окрестностях критических точек так же, как это делалось в примере 1.