- •Глава I элементы линейного программирования Лекция 1
- •1. Элементы аналитической геометрии
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Решение систем т линейных уравнений с двумя переменными
- •Лекция 2
- •2. Графический метод
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Алгоритм решения задач
- •2.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий
- •Лекция 3
- •3. Симплексный метод
- •3.1. Общая постановка задачи
- •3.2. Алгоритм симплексного метода
- •Лекция 3.
- •3.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
- •3.4. Альтернативный оптимум
- •Лекция 4
- •4. Двойственность в линейном программировании
- •4.1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей
- •4.2. Основные теоремы двойственности
- •Исходная задача
- •Двойственная задача
- •Исходная задача
- •Двойственная задача
- •Лекция 6
- •5. Транспортная задача
- •5.1. Общая постановка задачи
- •5.2. Нахождение исходного опорного решения
- •5.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю
- •5.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность
- •5.5. Переход от одного опорного решения к другому
- •5.6. Альтернативный оптимум в транспортных задачах
- •Вырожденность в транспортных задачах
- •Открытая транспортная задача
- •Определение оптимального варианта перевозки грузов
- •Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач.
- •Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования
- •Лекция 10 Целочисленное программирование
- •Параметрическое программирование
- •1. Постановка задачи
- •2. Линейное программирование с параметром в целевой функции
- •Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
- •Транспортная параметрическая задача
- •Лекция Задача о назначениях
- •Нелинейное программирование Общая постановка задачи
- •Графический метод
- •Дробно-линейное программирование
- •Алгоритм решения
- •Экономическая интерпретация задач дробно-линейного программирования
- •Применение дробно-линейного программирования для определения себестоимости изделий
- •Сведение экономико-математической модели дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
- •Метод множителей Лагранжа
- •Динамическое программирование
- •Оптимальная стратегия замены оборудования
- •Сетевые модели
- •Выбор оптимальной стратегии развития предприятия в условиях трансформации рынка
- •Принятие решения о замене оборудования в условиях неопределённости и риска
- •Элементы системы массового обслуживания (смо)
- •1. Формулировка задачи и характеристики смо
- •2. Смо с отказами
- •3. Смо с неограниченным ожиданием
- •4. Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
Параметрическое программирование
1. Постановка задачи
Общая задача линейного программирования имеет вид
при ограничениях:
целое,
где cj, aij, bi – постоянные величины. Однако на практике сталкиваются с тем, что эти величины изменяются в некоторых интервалах. Также, определив оптимальное решение экономической задачи при заданных cj, aij, bi, целесообразно знать, в каких допустимых пределах можно их менять, чтобы решение осталось оптимальным. Поэтому возникает необходимость исследовать поведение оптимального решения задачи линейного программирования в зависимости от изменения коэффициентов её целевой функции и системы ограничений.
Рассмотрим зависимость оптимального решения от изменения коэффициентов целевой функции.
2. Линейное программирование с параметром в целевой функции
Пусть коэффициент cj целевой функции изменяется в некоторых пределах, тогда его можно заменить выражением
,
где - постоянные; - параметр, который изменяется в некоторых пределах.
В общем случае задача линейного программирования с параметром в целевой функции записывается так:
при ограничениях:
,
Для каждого значения в промежутке , где и - произвольные действительные числа, нужно найти вектор , удовлетворяющий системе ограничений и обращающий в максимум (минимум) целевую функцию.
Решая задачу на максимум симплексным методом, и исследуя её решение в зависимости от изменения параметра , применяют следующие выражения для определения нижнего и верхнего его значений:
где - оценка симплексной таблицы, содержащая параметр ; - оценка симплексной таблицы, не содержащая параметр .
Если для целевой функции отыскивается min, то границы изменения и определяются следующим образом:
Алгоритм решения
Задача решается симплексным методом при конкретном значении параметра до получения оптимального решения.
Вычисляются значения параметров , .
Определяется множество значений параметра , для которых полученное решение является оптимальным.
В случае необходимости в базис вводим переменную, соответствующую столбцу, из которого определялось значение параметра .
Выбирается ключевая строка и ключевой элемент.
Определяется новое оптимальное решение.
Находится новое множество значений , для которых решение остаётся оптимальным.
Процесс вычисления повторяется до тех пор, пока весь отрезок не будет исследован.
Геометрический смысл задачи
П усть . ABCDEF – область допустимых решений. При строим вектор и, перемещая линию уровня MN по направлению вектора , получим в точке D оптимальное решение. Таким образом, - оптимальное решение, при котором имеем . При различных значениях линия , Параллельная линии уровня MN, будет определённым образом поворачиваться вокруг точки D. Пусть при прямая проходит через сторону CD многоугольника допустимых решений, а при - через сторону DE. Тогда значения и не изменятся до тех пор, пока . Такая картина будет повторяться до получения нового оптимального решения, соответствующего новой целевой функции, для которой существует свой диапазон изменения .