Параметрическое программирование

1. Постановка задачи

Общая задача линейного программирования имеет вид

при ограничениях:

целое,

где c_j, a_ij, b_i – постоянные величины. Однако на практике сталкиваются с тем, что эти величины изменяются в некоторых интервалах. Также, определив оптимальное решение экономической задачи при заданных c_j, a_ij, b_i, целесообразно знать, в каких допустимых пределах можно их менять, чтобы решение осталось оптимальным. Поэтому возникает необходимость исследовать поведение оптимального решения задачи линейного программирования в зависимости от изменения коэффициентов её целевой функции и системы ограничений.

Рассмотрим зависимость оптимального решения от изменения коэффициентов целевой функции.

2. Линейное программирование с параметром в целевой функции

Пусть коэффициент c_j целевой функции изменяется в некоторых пределах, тогда его можно заменить выражением

,

где - постоянные; - параметр, который изменяется в некоторых пределах.

В общем случае задача линейного программирования с параметром в целевой функции записывается так:

при ограничениях:

,

Для каждого значения в промежутке , где и - произвольные действительные числа, нужно найти вектор , удовлетворяющий системе ограничений и обращающий в максимум (минимум) целевую функцию.

Решая задачу на максимум симплексным методом, и исследуя её решение в зависимости от изменения параметра , применяют следующие выражения для определения нижнего и верхнего его значений:

где - оценка симплексной таблицы, содержащая параметр ; - оценка симплексной таблицы, не содержащая параметр .

Если для целевой функции отыскивается min, то границы изменения и определяются следующим образом:

Алгоритм решения

1. Задача решается симплексным методом при конкретном значении параметра до получения оптимального решения.

2. Вычисляются значения параметров , .

3. Определяется множество значений параметра , для которых полученное решение является оптимальным.

4. В случае необходимости в базис вводим переменную, соответствующую столбцу, из которого определялось значение параметра .

5. Выбирается ключевая строка и ключевой элемент.

6. Определяется новое оптимальное решение.

7. Находится новое множество значений , для которых решение остаётся оптимальным.

8. Процесс вычисления повторяется до тех пор, пока весь отрезок не будет исследован.

Геометрический смысл задачи

П усть . ABCDEF – область допустимых решений. При строим вектор и, перемещая линию уровня MN по направлению вектора , получим в точке D оптимальное решение. Таким образом, - оптимальное решение, при котором имеем . При различных значениях линия , Параллельная линии уровня MN, будет определённым образом поворачиваться вокруг точки D. Пусть при прямая проходит через сторону CD многоугольника допустимых решений, а при - через сторону DE. Тогда значения и не изменятся до тех пор, пока . Такая картина будет повторяться до получения нового оптимального решения, соответствующего новой целевой функции, для которой существует свой диапазон изменения .