30. Кинетическая энергия вращения
Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:
Если
тело вращается вокруг неподвижной оси
с угловой скоростью
,
то
линейная скорость i-ой точки равна
,
где
,
- расстояние от этой точки до оси вращения.
Следовательно.
|
(5.11) |
где
-
момент инерции тела относительно оси
вращения.
В
общем случае движение твердого тела
можно представить в виде суммы двух
движений - поступательного со скоростью,
равной скорости
центра
инерции тела, и вращения с угловой
скоростью
вокруг
мгновенной оси, проходящей через центр
инерции. При этом выражение для
кинетической энергии тела преобразуется
к виду
|
(5.12) |
где
-
момент инерции тела относительно
мгновенной оси вращения, проходящей
через центр инерции.
31. Момент импульса.
Векторное
произведение радиуса-вектора
материальной
точки на ее импульс:
называют
моментом импульса
,
этой точки относительно точки О (рис.5.4)
.
Вектор
иногда
называют также моментом количества
движения материальной точки. Он направлен
вдоль оси вращения перпендикулярно
плоскости, проведенной через векторы
и
и
образует с ними правую тройку векторов
(при наблюдении из вершины вектора
видно, что вращение по кратчайшему
расстоянию от
к
происходит
против часовой стрелки).
Векторную
сумму моментов импульсов
всех
материальных точек системы называют
моментом импульса (количества движения)
системы
относительно точки О:
Векторы
и
взаимно
перпендикулярны и лежат в плоскости
перпендикулярной оси вращения тела.
Поэтому
.
Сучетом связи линейных и угловых величин
и
направлен вдоль оси вращения тела в ту
же сторону, что и вектор
.
Таким образом.
Момент импульса тела относительно оси вращения
т.е.
|
(5.9) |
Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.
32. Закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса
– при любых процессах в замкнутой системе ее полный момент импульса остается неизменным.
Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства. Закон сохранения момента импульса - суммарный момент импульса замкнутой системы относительно неподвижной оси вращения не изменяется с течением времени.
J*w = const
. Два одинаковых шара насажены на гладкий горизонтальный стержень, но которому они могут скользить. Шары сближают и соединяют нитью. Затем всю установку приводят во вращение вокруг вертикальной оси, предоставляют ее самой себе и пережигают нить. Шары, естественно, разлетаются к концам стержня. Угловая же скорость установки при этом резко уменьшается.
Опыт с шарами
Наблюдаемый
эффект является прямым следствием
закона сохранения момента импульса,
так как данная установка ведет себя, по
существу, как замкнутая, так как внешние
силы компенсируют друг друга, так как
силы трения в оси малы. Для количественной
оценки изменения угловой скорости будем
считать, что масса всей установки
практически сосредоточена в шарах, а
их размеры пренебрежимо малы. Тогда из
равенства моментов импульса шаров
относительно точки C в начальном и
конечном состояниях системы
следует
Отсюда видно, что с увеличением расстояния шаров от оси вращения угловая скорость установки уменьшается обратно пропорционально квадрату этого расстояния. И наоборот, если бы уменьшалось под действием каких-либо внутренних сил, угловая скорость установки увеличивалась бы. Этот эффект имеет общий характер, и его широко используют спортсмены в своих выступлениях, например, фигуристы и гимнасты.
Элементы специальной теории относительности.