Раздел 6 Двойственная задача линейного программирования на примере задачи торга

Вернёмся к экономическому примеру раздела 2 − заводу, выпускающему два вида продукции. Мы рассматривали задачу линейного программирования, связанную с выбором оптимального плана. Сейчас мы определим некоторую связанную с ней задачу, которую назовём двойственной по отношению к исходной.

Представим себе, что на календаре – 90-е годы, экономический кризис; и представим некоторую фирму, оптом скупающую у предприятий сырье с целью выгодной перепродажи за границу. И вот её представители начинают переговоры с рассматриваемым нами заводом. Их цель: скупить (по возможности дёшево) всё наше сырьё. Мы также отстаиваем свою выгоду. Начинается торг. Пусть − обсуждаемые цены за единицу сырья , , . Пусть на наших складах хранится запас сырья на месяц, и переговоры ведутся именно об этих объёмах. Тогда, с учётом запаса сырья в расчёте на одни сутки, мы получаем, что цель фирмы-перекупщика в ходе торга – это

(6.1)

(т.е. минимизация цены суточного запаса трёх видов сырья). Наш завод имеет дело со следующей альтернативой: либо использовать сырьё для производства и получить прибыль с конечной продукции, либо продать всё сырье перекупщику. Разумеется, мы выберем второй вариант только в том случае, если он будет нам более выгоден. Запишем это требование математически. Для этого обратимся к матрице технологических коэффициентов:

	1	3
	1	1
	2	1

Отсюда видно, что если мы используем 1 ед. сырья , 1 ед. сырья и 2 ед. сырья в производстве (одной единицы продукции , разумеется), то получим прибыль в 2 денежные единицы (по условию). Значит, перекупщик должен предложить нам не меньше за всё это сырьё, т.е. мы потребуем, чтобы выполнялось неравенство . Аналогично, рассматривая выгодность сделки по отношению к второму виду продукции, получаем неравенство . (Очевидно, что равенства нас устраивают, т.к. мы получаем ту же самую прибыль безо всяких усилий!). Итак, в совокупности наши условия на переговорах имеют вид:

(6.2)

Задача линейного программирования (6.1)-(6.2) называется, по определению, двойственной по отношению к исходной задаче (2.1)-(2.2) из раздела 2.

Правило построения двойственной задачи может быть усмотрено из следующей таблицы:

				запасы
		1	3	12
		1	1	6
		2	1	10
	Прибыль	2	3

(6.3)

Сравнивая данную таблицу с формулировками задач (2.1)-(2.2) и (6.1)-(6.2), мы видим, что в исходной задаче ограничения и целевая функция записываются «по строкам», а в двойственной – «по столбцам». При этом в исходной задаче все ограничения – неравенства « » и целевая функция максимизируется, а в двойственной задаче все ограничения – « » и целевая функция минимизируется. Ясно, что исходная задача однозначно восстанавливается по двойственной. Таким образом, имеются естественные пары взаимно-двойственных задач.