Раздел 2 Задачи линейного программирования на примере задачи об оптимальном использовании ресурсов

Итак, мы начнём наше изучение экономико-математических моделей с оптимизационных моделей. Ясно, что в основу планирования деятельности того или иного предприятия часто полагается некоторый критерий эффективности; например, коммерческое предприятие – это, по определению, такое предприятие, которое стремится к получению наибольшей возможной прибыли. Вот ещё примеры: при разработке технологии производства менеджмент стремится минимизировать отходы сырья; компания, занимающаяся логистикой, стремится организовать свою работу так, чтобы общие затраты на перевозку грузов были минимальными и т.д. Для решения подобных задач и создаются оптимизационные модели. Они строятся по следующей общей схеме.

Сначала все относящиеся к проблеме факторы делятся на две группы: постоянные факторы (на которые мы не можем повлиять) , … и факторы, которые мы можем изменять, чтобы добиться наилучшего решения: , … Критерий оптимальности (эффективности) выражается целевой функцией

( , …, , … ). Выбор факторов , … обычно подвержен некоторым ограничениям, например, вида

=

Таким образом, математически задача оптимизации может быть сформулирована так:

среди всех наборов значений переменных , .., удовлетворяющих ограничениям, отыскать такой набор значений, который обращает в максимум (или минимум) целевую функцию задачи.

Рассмотрим для примера следующую задачу:

Один из заводов нашей фирмы выпускает два вида продукции, обозначим их условно и . Для их производства используется три вида сырья: , и . При этом на выпуск одной единицы продукции необходимы соответственно 1,1 и 2 единицы сырья , и ; а на выпуск одной единицы продукции потребуются, соответственно, 3,1 и 1 единица. Поскольку эти числа определяются технологией производства, принято называть их технологическими коэффициентами. Удобно представлять их в виде матрицы технологических коэффициентов:

	1	3
	1	1
	2	1

Пусть теперь одна единица продукции приносит нам 2 денежные единицы прибыли (единицей может быть рубль, тысяча рублей и т.п.), а одна единица приносит 3 единицы прибыли. Будучи коммерческим предприятием, мы стремимся получить наибольшую прибыль от завода в целом. Разумеется, чем больше мы производим продукции, тем большую прибыль получим. Однако в нашей задаче, как и в реальной ситуации, нас ограничивают доступные нам запасы сырья. Пусть доступные нам в сутки объёмы сырья , и составляют 12, 6 и 10 единиц соответственно. Задача теперь следующая: как распорядиться этими объёмами для того, чтобы в итоге получать в сутки наибольшую прибыль на нашем заводе?

Вот мы и сформулировали экономическую модель нашей проблемы. Теперь необходимо простроить её математическую модель. Ясно, что наша задача является задачей оптимизации, в которой постоянными факторами являются технологические коэффициенты, получаемая с единиц продукции прибыль и суточные запасы сырья. Очевидно также, что наше управление сводится к выбору ежесуточных объёмов производства продукции и , которые мы обозначим и : это те факторы, которые мы можем изменять. Целевая функция ежесуточной прибыли, которую мы обозначим здесь F, выражается формулой (мы сразу указываем, что стремимся её максимизировать):

(2.1)

Пара чисел ( , ) называется ежесуточным планом производства (ясно, что оба числа по смыслу задачи неотрицательны). Выпишем явно ограничения на план по трём видам сырья. Вычисляя, сколько сырья каждого вида будет потребляться при плане ( , ) и сравнивая с нашими запасами, мы получим три неравенства:

(2.2)

Предположим теперь, что сырьевые ограничения являются единственными ограничениями на рост объёмов производства (т.е. у нас достаточно свободных производственных площадей, рабочей силы, электроэнергии и т.п.). Тогда математически наша задача может быть сформулирована так:

Среди всех пар неотрицательных чисел ( , ), удовлетворяющих системе неравенств (2.2), выбрать такую пару, для которой целевая функция (2.1) принимает наибольшее значение.

Данная математическая задача относится к классу задач линейного программирования или линейной оптимизации: она названа так потому, что целевая функция и все ограничения выражаются линейными функциями. Если хотя бы одна из перечисленных функций была бы нелинейной, то соответствующая задача относилась бы к классу задач нелинейной оптимизации. Наконец, если искомые величины принимают только целочисленные значения, оптимизационная задача носит названия задачи целочисленной оптимизации. Примеры перечисленных типов задач будут нами рассматриваться.