Теория.

Раздел 1. Введение в математический анализ.

1.Общее определение функции как отображение множеств.

Функция - это многооднозначное отображения одного множества в другоесмысл: у различных иксов могут быть одинаковые игрики.У одного игрика может быть только 1 икс.

2.Множество комплексных чисел и действие с ними. Формула Эйлера.

Комплексные числа,— расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица

• Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание Списать из тетради.

• Умножение

• Деление

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство: где e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица.

3.Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

4.Леммы о связи ББ и БМ функций.

в тетрадке.

5. Теорема о связи функции имеющие предел с БМ.

Теорема 1 (о связи предела с бесконечно малой функцией).

ля того, чтобы существовал lim x → x0 f(x) = A, необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде f(x) = A + α(x), где α(x) — бесконечно малая функция при x → x0.

там предел f(x)=A по X стрем. к Xo

6. Арифметические свойства пределов.

Односторонние пределы.

О пр.Число а называют пределом функции f(x)в точке х0 справа, если для любой сходящейся к х0 последовательности {хn}, в которой все хn>х0, соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

А налогично определяют предел функции слева:

Асимптоты функций.

Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у=f(x) , если хотя бы один из пределов

Прямая у=кх+b является наклонной асимптотой графика у=f(x) при …

Теорема. Для того чтобы график функции у=f(x) имел х>+? наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х>-?.

7. 1-ый замечательный придел. 2-ой замечательный придел. Число е.

1) lim f(x)sinx/x =1(при х>0) – первый замечательный предел

2) lim (1+1/x)x =e(х>+ (-)?) – второй замечательный предел.

Число е это экспонента, приблизительно равное 2,7. чрез нее можно выразить показательну форму комплексного числа. и вывести формулу эйлера.

8. Непрерывность функции в тчк.

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х0, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x0 существует и равен значению в этой точке: lim f(x) = f(x0)

9. Односторонние пределы. Классификация тчк разрыва фун-и.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка (а,b) , называется непрерывной на промежутке. Если функция определена на промежутке (a,b), b>a, то при исследовании поведения функции b>a в окрестности точки a имеет смысл говорить о пределе функции в точке a справа, а при исследовании в окрестности точки b - о пределе функции в точке b слева. Число A называется пределом справа функции f (x) при x , стремящемся к a, если для любого положительного числа эпсилон, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число гамма, что для всех x , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Говорят “предел справа функции в точке a и обозначают . Аналогично говорят “предел слева функции f (x) в точке b и обозначают , если для любого положительного числа эпсилон , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число гамма , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Для существования предела функции в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке. По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция f(x), определенная на отрезке , b >a, непрерывна справа в точке a, если и непрерывна слева в точке b, если . Для того чтобы функция была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке . Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке .

Классификация разрывов .Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке . Если и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

Классификация точек разрыва.

1. х0 – точка разрыва первого рода, если одосторонние пределы существуют, но они не равны между собой.

1.1 Точка устранимого разрыва, если односторонние пределы равны между собой, но их значение не совпадает со значением функции в этой точке.

Lim f(x)=lim f(x) не равен f(x0)

XXo-0 XXo+0

1.2 Точка разрыва с «конечным скачком». Правый и левый пределы не совпадают.

1.3 Точка разрыва с «бесконечным скачком». Хотя бы один односторонних пределов бесконечен.

2. х0 - точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.

10. Эквивалентность БМ фун-и и теорема об их свойстве.

Cумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.

 и

1. Если =А 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если  не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х0±0.

11. Таблица эквивалентности БМ.

1. sinx~х при х→0;

2. tgx~х (х→0);

3. arcsinх ~ х (х→0);

4. arctgx~х (х→0);

5. 1-cosx~x2/2 (х→0);

6. ех-1~х (х→0);

7. αх-1~х*ln(a) (х→0);

8. ln(1+х)~х (х→0);

9. loga(l+х)~х•logaе (х→0);

10. (1+х)k-1~k*х, k>0 (х→0);