Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра 3 билета (Восстановлен).docx

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2019

Размер:

266.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Матрицы и операции над ними

М атрица- прямоугольная таблица чисел

А = Операции над ними:

произведением матрицы А на число α αА называется матрица вида αА=

А_Кх_NK – строк , N – столбцов А= (аij)_KxN

Суммой матриц А= (аij) B=(bij) имеющих одинаковое число строк и столбцов называется матрица вида: А+В= (a_ij+b_ij)
П роизведение матриц А= (аij) и B=(bij) Произведение строки А=( а₁,…,а_n) на столбец В= называется число

АВ= а₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_nСума произведений соответствующих координат

Произведением 2х матриц есть произведение строк левой матрицы на столбцы правой

Пусть число столбцов матрицы А= (аij) равно числу строк матрицы B=(bij), тогда произведением матриц АВ=С

Называется матрица С =(Сij) в которой элемент (Сij), стоящий на пересечении I той строки и jтого столбца равен произведению i-той строки матрицы А на jтый столбец матрицы В. Сij = (a_i₁….a_in) * = a_i₁b₁_j+….+a_inb_nj A₁+a₂+…+a_n= = 1+ (KxN)(NxP)=(KxP) число столбцов левой N = числу строк правой N (2x5)(5x3)=(2x3) Транспонирование- замена строк столбцами и наоборот А^т Свойства операций над матрицами:

1)αА=Аα 2) α(А+В)=αА+αВ 3)(α+β)А= αА+βА 4)А+В=В+А коммунтативность 5)(А+В)+С=А+(В+С) ассоциативность

6)(А*В)*С=А*(В*С) 7)A*(B+C)=AB+AC 8)(A+B)*C=AC+BC транзитивность 9) существование 0 А+0=А а) нулевая матрица: п умножению нейтральный элемент б) нейтральный по сложению элемент Матрица Е =

10) Существует единичная матрица Е_кА=А; АЕ_n=А 11)(А+В)^Т= В^Т+А^Т12) (АВ)^Т=В^ТА^Т13) А+(-1)А=0 14)квадратные матрицы матрица степени NxN

Теорема: Сумма произведений элементов какой либо строки(столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки(столбца) равна 0 a_i₁А_i₁+ a_inА_in=0 (i≠j)

Теорема: Определитель произведения 2х квадратных матриц одинаковых степеней равен произведению их определителей. |AB|=|A|*|B|

Универсальное определение кривых 2ого порядка

Геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная равная ε называется :

Эллипсом, если 0≤ε≤1 Параболой, если ε=1 гиперболой, если ε>1

Замечание: Каноническая теория кривых 2ого порядка Любая кривая 2ого порядка получается как сечение данного тела плоскостью

Окружность- перпендикулярно оси, гипербола- параллельно оси, парабола – параллельно образующей, эллипс – всё остальные

Билет 7 Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой. Понятие линейного пространства и подпространства, критерии подпространства

Скалярным произведением векторов а и b называется произведение модулей тих векторов на cos угла между ними а*b= |a|*|b|*cosγ γ=a^b

Углом между двумя векторами называется наименьший угол на который нужно повернуть один вектор до совмещения его с другим

Свойства скалярного произведения

A*b=b*a 2) (a+b)*c= a*c+b*c 3)αab=α(ab) 4) aa=a²≥0, a²=0 a=0

Условие ортогональности векторов

Векторы ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 aперпендикулярна b  ab=0=> |a||b|cosγ=0 =>|a|=0=> 0 перпендикулярен b; |b|=0=> перпендикулярен a; cosγ=0 => γ=π/2

Ab=(a₁i+a₂j+a₃k)(b₁i+b₂j+b₃k)=a₁b₁i²+a₂b₂j²+a₃ b₃ k²=a₁b₁+ a₂b₂+a₃ b₃

Ab= a₁b₁+ a₂b₂+a₃ b₃ (1) |a|= (2) Cosα= = (3)

Проекцией вектора а на направление вектора b называется длина вектора а₁ взятая со знаком «+» если его направление совпадает с направлением b и со знаком «-» в противном случаи. Проекция а на b равна =1) |a₁|, если а₁ b₁2) -|a₁|, если a₁ b₁; α<90=> а₁ b₁α>90=> a₁ b₁; Проекция a на b = (4) ; ab= a* b=b* a (5)

Линейное пространство Линейным пространством V над полем F называется система элементов V с операциями сложения элементов и умножения элементов на числа из поля при этом должны выполняться следующие аксиомы линейного пространства.

выполняется : 1) сложение коммутативно х+у=у+х 2)сложение ассоциативно(х+у)+z=x+(y+z)

4) 5)1*x=x унитальность 6) α(βх)=(αβ)х дистрибутивность

7) (α+β)х=αх+βх 8)α(х+у)= αх+αу Замкнутость относительно операций т.е. не выходим из V

Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства

Система элементов линейного пространства V а₁…а_nназывается линейно зависимой, если существуют числа из поля F α₁… α_n не все равные 0, такие что α₁а₁+…+α_nа_n=0 нулевому элементу.
N≥2 Система элементов линейного пространства V а₁…а_nназывается линейно зависимой тогда и только тогда когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные.

В противно случаю система элементов а₁…а_nлинейного пространства V линейно независима

Понятие подпространства и критерии его

Подмножества L линейного пространства V называется подпространством если оно является пространством относительно операций определённых на V/

Теорема1: Критерий подпространства L V является подпространством тогда и только тогда когда L замкнута относительно операций сложения и умножения на число. 1) 2) 3) Если х L =>(-1)x L=>x+(-1)x=0 L Если выполняется 2 требования то L является пространством

а₁,…,а_nл.з. 1) α1 ….α_nне все =0 α₁а₁+…+α_na_n=0 2) n≥2 хотя бы один выражается через остальные

а₁,…,а_nл.н. 1) α₁а₁+…+α_na_n=0 α₁….=α_n=0 2) n≥2 ни один не выражается

Билет 8. Векторное произведение, его геометрический смысл, выражение через координаты. Базис и размерность линейного пространства.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой если из конца 3его вектора кратчайший поворот от 1ого ко 2оу виден против часовой стрелки в противно случаи тройка называется левой .

Векторное произведение векторов ab называется вектор с=AxB, удовлетворяющий условиям 1

С перпендикулярен А; С перпендикулярен B
|c|=|a||b| sin(a^b)
A,b,c – правая тройка

Модуль векторного произведения есть площадь параллелограмма построенного на сомножителях

Векторное произведение направлено как головка буравчика который мы вращаем от 1 множителя ко 2ому

Свойства:

АхВ= -ВхА – анти коммутативность
(А+В)хС=АхС+ВхС(αА)хВ=α(АхВ)

АхВ= = i -j +k Условия коллинеарности 2 вектора коллинарны тогда и только тогда когда векторное произведение их равно 0 Базис и размерность линейного пространства

Базисом линейного пространства V называется система линейно независимых элементов, аксиальная по включению(при присоединении элемента л.н. исчезает)

Пусть е₁…е_n - ,базис V x V { е₁…е_n,x}- линейно зависимая

α₁…α_n,α – не все равные 0, такие что αх+α₁е₁+…+α_ne_n=0

α₁е₁+…+α_ne_n=0 не все х₁,…, α_n=0 =>e₁,…,e_n- л.з. – противоречие => α≠0

αx= - α₁e₁-…-α_ne_n x=- α₁e₁/α-…-α_ne_n/α = = x=x₁e₁+…+x_ne_n(1)

Выражение (1) называется разложением элемента х по базису е₁….е_n

Пусть система { е₁….е_n} – л.н. и для любого Х из V справедливо (1) тогда е₁….е_nобразует базис. Х  (X₁,…, X_n)

Упорядоченная n кА чисел (X₁,…, X_n) называется координатами элементов Х в базисе е₁….е_n

Множество упорядоченных n ок действительных чисел по компонентным сложениям и умножениям на действительное число образуют линейное пространство которое обозначается Rⁿ.

Теорема: Пусть элементы b₁…b_s линейного пространства V есть линейные комбинации элементов a₁….a_k если s>k => то b₁…b_s– л.з.

b ₁=α₁₁a₁+…+α_k₁a_k

b₂=α₁₂a₁+…+α_k₂a_k(2) Из коэффициентов равенства (2) составим матрицу: А=

b_s=α₁_sa₁+…+α_ksa_k

R(A)≤K K<S=> столбцы матрицы А линейно зависимы

β₁…β_s не все =0 β₁ +….β_s ₌ (3)

β₁b₁=α₁₁a₁+α₂₁a₂+…+α_k1a_k

β2b₂=α₁₂a₁+ α₂₂a₂+…+α_k2a_k

β_Sb_S=α₁_Sa₁+ α₂_Sa₂+…+α_kSa_k

Из равенства (3) следует что линейная комбинация β₁b₁+…+ β_Sb_S=0а₁+...+0а_к=0 => b₁,…,b_S –л.з Линейная комбинация длины К линейно независимых может быть не больше чем К

Теорема 2: В любом базисе конечномерного линейного пространства V содержится одинаковое количество элементов

Е₁,…,е_n– базис V ; b₁,…,b_k- базис V ; k< n Поскольку е₁= α₁₁b₁+α₂₁b₂+…+α_k₁b_ke_n= α₁_nb₁+α₂_nb₂+…+α_knb_k=> Е₁,…,е_n–л.з.

Противоречие => k≥n => k=n

Размерность конечномерного пространства V называется число элементов в базисе этого пространства

Теорема : разложение по базису единственно

(1^’) X=X’₁e₁+…+X’_ne_n = противное предположение

Х = Х₁е₁+…+Х_ne_n

(1)-(1’) 0=(X₁-X’₁)e₁+…+(X_n-X’_n)e_n=> X₁=X’₁X_n=X’_nчтд

Х(X₁,…,X_n) Rⁿ

Линейная оболочка элементов а₁...а_к

L(а₁...а_к) = {α₁а₁+…+α_na_n, α₁….α_n R}

Теорема : Линейная оболочка является пространством (подпространством )

L V L – подпространство  1) 2) a= α₁а₁+…+α_ka_kb=β₁a₁+…+β_ka_k

₁₎A+b= (α₁+β₁)a₁+…+ (α_k+β_k)a_k _L

₂₎_αa₌_αα₁_a_1+…+_ααkak _L

Билет 9 Смешанное произведение его геометрический смысл, выражение через координаты . Линейный оператор и его матрица.

Смешанное произведение векторов называется число. Смешанное произведение некомпланарных векторов |abc| по модулю равно объему параллелепипеда построенного на сомножителях . Оно положительно если тройка |abc| правая и отрицательна если тройка левая

|abc |= Abc=(AxB)C= |AxB|*|C||Cos(AxB)^C)| |C||Cos(AxB)^C)|=H |AxB|= S параллелограмма SH=V параллелепипеда

У словие компланарности : 3 вектора компланарны тогда и только тогда когда их смешанное произведение равно 0

Abc = abc=bca=cab=-bac=-acb=-cba i-j-k=1

Координатами точки М называются координаты её радиус вектора ОМ

Уравнение соответствующим заданному множеству точек называется уравнение которому удовлетворяют координаты вех точек множества и не удовлетворяют координаты точек не принадлежащих множеству.

Множеством точек соответствующих заданному уравнению называются множества тех и только тех точек координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Линейный оператор и его матрица.

Пусть V линейное пространство.

Определение1: преобразование линейного пространства V называется линейны оператором пространства V если выполняются следующие условия:

1) γ(x+y)=γ(x)+γ(y) – аддитивность

2) γ(αх) =α(γх) – однородность

Γ(х) –образ элемента х под действием оператора γ

Если у=γ(х) – х называется прообраз у под действием оператора γ

П усть (е) = (е₁,…,е_n) – базис V, тогда

X= X=X₁e₁+…+X_ne_nγ(x)= γ(x₁e₁+…+x_ne_n) = γ(x₁e₁) +…+γ(x_ne_n) = x₁γ(e₁)+…+x_nγ(e_n) γ(e₁)- образ элемента базиса

Как линейный оператор действует на элементы базиса

γ(е₁)= τ₁₁е₁+τ₂₁е₂+…+τ_n₁e_n= (e₁…e_n) =e

γ (е_n)= τ₁_nе₁+τ₂_nе₂+…+τ_nne_n= (e₁…e_n) =e

З амечание: * = =X₁ +…+X_n тогда матрицу умножают на столбец, как будто берём линейную комбинацию столбцов этой матрицы.

γ (х)=x₁γ(e₁)+…+x_nγ(e_n)=(γ(е₁)…γ(е_n)) =(e …(e) =(e)( … ) = (e)(X₁ +…+X_n )= (e)*

Матрица линейного оператора

Матрицей линейного оператора γ в базисе (е) [γ]_e– обозначение. Называется матрица столбцы которой есть координаты образа элементов базиса в данном базисе. γ(х)=(е)[γ]_eX (1)

P- проекция на плоскость хОу [P]_ijkP(i)=i=(1,0,0) P(j)=j=(0,1,0) P(k)=k=(0,0,0) [P]_ijk= Матрица линейного оператора в базисе I,j,k

Операции над операторами:

1)(γ₁+φ)(Х)= γХ+φХ

2)(αγ)(Х)=αγ(Х)

3)(γφ)(Х)=γ(φХ)

Заметим что между линейными операторами

1) [γ+φ]_E=[γ] +[φ]_E+[γ]_E

2) [αγ]_E= α[γ]_E

3) [γφ]_E=[γ]_E[φ]_E

Понятие обратного оператора (γ)^-1 [γ^-1]_E=[γ]^-1_E

Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующее однородной системе.

Х₁=Х₀+α₁С₁+…+α_n_-_rC_n_-_r (9) Запись общего решения системы в геометрической форме Х – общее решение неоднородной системы, Х₀ частное решение неоднородной системы; α₁С₁+…+α_n_-_rC_n_-_r– общее решение однородной системы Замечание: L – подпространство сдвигаем(гиперпространство, многообразие, сдвинутое подпространство)

Билет10 Различные уравнения плоскости, угол между плоскостями. Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.

1)Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 вектор n=(A,B,C)≠0

2) Плоскость перпендикулярная вектору n=(A,B,C) и проходящая через точку M₀=(X₀,Y₀,Z₀): A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

3) Плоскость проходящая через 3 данные точки М₁=(X₁,Y₁,Z₁), М₂=(X₂,Y₂,Z₂), М₃=(X₃,Y₃,Z₃), не лежащие на одной прямой:

4)Плоскость отсекающая на осях координат ненулевые отрезки a,b,c описывается уравнением в отрезках:

5)Если нормальные вектор единичный, и направлен из начала координат в сторону плоскости, то получаем нормальное уравнение плоскости xcosα+ycosβ+ zcosγ-p=0 p≥0, OPперпендикулярен p, ОР^Ox=α, OP^Oy=β OP^Oz=γ. Для того чтобы общее уравнение привести к нормальному виду, его нужно умножить на μ= - нормирующий множитель, противоположен D.Р – расстояние плоскости от начала координат, cos,sin – направляющие вектора нормали

Отклонение точки М₁=(X₁,Y₁,Z₁) от плоскости L заданной нормальным уравнением, находится по формуле:

δ(M₁,L)=x₁cosα+y₁cosβ+z₁cosγ-p

Расстояние от точки М₁=(X₁,Y₁,Z₁) до плоскости L находится по формуле:

р(M₁,L) =|δ(M₁,L)|=| x₁cosα+y₁cosβ+z₁cosγ-p|=

A=0 L||Ox B=0 L||Oy C=0 L||Oz D=0 L через начало координат

Вектор А₀, направленный так же как и вектор А и имеющий единичную длину называется ортом вектора А А₀=

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

P₁=A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 P₂=A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 Cosα=

α=P₁^P₂ P₁||P₂

Условие ортогональности: Р₁перпендикулярна Р₂ =0

Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов

М атрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, причём на её диагонали стоят собственные числа оператора.

A= => [φ]_E=диагон.  Пусть [φ]_Eимеет диагональный вид

φ(e_i)=(e)[φ]_e =(e) =(e₁…e_n) =φ₁e₁ φ(e_i)= φ_ie_i

e_i– собственный элемент , φ_i – собственное значение

<= e₁…e_n – Собственные тд. [φ]_E=диагон.

[φ]_E= (φ(e₁) φ(e₂)… φ(e_n))= φ(e₁)=γ₁e₁ ; φ(e₂)=γ₂e₂ ; φ(e_n)=γ_ne_n= диагон. γ₁γ₂γ_n- собственные числа

Билет 11. Различные уравнения прямой в пространстве. Матрица перехода к новому базису.

Общее уравнение прямой в пространстве:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 Чтобы плоскости не были параллельны N₁=(A₁,B₁,C₁) N₂=(A₂,B₂,C₂) N₁xN₂≠0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (1)

N₁xN₂= =( , , ) ( )²+( )²+( )²≠0 (2)

Система уравнений (1) с условием (2) задаёт прямую в пространстве такое задание называется общее уравнение прямой в пространстве

Теорема1: Всякая система уравнений (1) с условием (2) задаёт в пространстве прямую и наоборот. Любая прямая в пространстве может быть задана системой уравнений вида (1) с условием (2).

Каноническое уравнение прямой в пространстве М₀М||S = S=(m,n,p) – направляющий вектор

Если одно или 2 из чисел m,n,p равны 0 это означает что соответствующий числитель равен 0

Параметрические уравнения прямой в пространстве

t- любое действительное число

X=mt+x₀ Y=nt+y₀ Z=pt+z₀(4)

M,n,p – любого параллельного вектора направляющего Уравнения прямой проходящей через 2 точки. S=M₁M₂

Угол между прямой и плоскостью P: Ax+By+Cz+D=0,то N=(A,B,C) S=(m,n,p) sinα=|cosβ| sinα= (6)

Условие параллельности и перпендикулярности L||p:Am+Bn+Cp=0 L перпендикулярна p:

Точка пересечения прямой и плоскости P: Ax+By+Cz+D=0 L:

Для нахождения точек пересечения прямой L и плоскости р нужно:

Перейти к параметрическим уравнениям прямой вида (4) подставить полученные выражения для x,y,z, в уравнения плоскости р и найти параметр t , тогда если t = t₀ то точка пересечения прямой и плоскости К имеет координаты К(mt+x₀, nt+y₀, pt+z₀)

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Площадь параллелограмма =|S|d=|M₀M₁*S|

d= (7)

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Формулы деления отрезка в данном соотношении

γ= Найти координаты точки М М₁М=γММ₂

( )=γ(х₂ –x; y₂-y; z₂-z)

x-x₁= γ(х₂ –x) x-x₁= γх₂ –γx => X= (8) Замечание 1)γ≠-1

2)Если точка М вне отрезка, то γ<0 3)От 1ой точки до делящей, к длине отрезка, от делящей до 2ой

Матрица перехода к новому базису (e)=(e₁…e_n) - старый

(e’)=(e’₁…e’_n)- новый e₁=α₁₁e’₁+ α₂₁e’₂+…+ α_n₁e’_n

e₂= α₁₂e’₁+ α₂₂e’₂+…+ α_n₂e’_n(1)

e_n= α₁_ne’₁+ α₂_ne’₂+…+ α_nne’_n

Система (1) в матричной форме: (e₁…e_n)=(e’₁…e’_n)*S S= (e)= (e’)S (e’)=(e)T=(e’)S *T S*T=E

Матрица перехода от старого (е) базиса к новому (e’) называется матрица, столбцы которой, есть координаты элементов старого базиса в новом.

Матрица перехода обратима при этом S^-1 является матрицей перехода от базиса (e’) к базису (е). Координаты вектора и матрица линейного оператора зависят от базиса.

Билет 12 Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров. Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису

1)Прямая на плоскости хОу Р хОу: z=0 P=Ax+By+Cz+D=0 если в хОу, то С=0

P=Ax+By+C =0 (1)

Теорема 1. Всякая прямая на плоскости может быть задана уравнениями вида (1) и наоборот, всякое уравнение вида (1) задаёт прямую на плоскости, поэтому уравнение вида (1) является общим уравнением плоскости. N=(A,B,C) перпендикулярно Р n=(A,B) перпендикулярно L L: Ax+By+C=0 S=(-B,A) nS=(A,B)(-B,A)=-BA+BA=0 nперпендикулярно S

Из общего уравнения (1) можно найти:

Вектор нормали к прямой n=(A,B)
Направляющие S=(-B,A)
Угол наклона прямой – угол, лежащий в верхней полуплоскости и образованный прямой с положительным направление оси Ох (α)

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона, относится к прямым не параллельным оси Оу

Углом между двумя прямыми, называется угол, на который нужно повернуть 1ую прямую , против часовой стрелки до совмещения её со 2ой прямой

Вектор нормали прямой называется вектор перпендикулярный прямой

Направляющий вектор параллелен прямой

Ax+By+Cz+D=0 (1) n=(A,B) S=(-B,A)

Виды уравнений прямой на плоскости

Название	Вид уравнения	Геометрический смысл параметра
Общее	Ax+By+Cz+D=0	N=(A,B) перпендикулн L S=(-B,A) \|\|L
Уравнение прямой с угловым коэффициентом	Y=kx+b	K=tgα- угл. Коэфф. B- отрезок на оси Oy
Ур.пр. проходящей через данную точку в данном направлении	y-y₀=k(x-x₀)	M₁(x₁,y₁) L k- угловой коэффициент
Ур. Пр. проходящей через 2 данные (.)		M₁(x₁,y₁) L М₂(х₂,у₂) L
Ур.Пр. в отрезках на осях		а – отрезок на оси Ох , b- отр.на оси Оу
Нормальное уравнение	Xcosα+ysinα-p=0	n=(cosα,sin ) p- расстояние прямой от начала координат
Уравнение прямой \|\| оси Оу	х=а	а- отрезок на оси Ох

2)Х=х₁е₁+…+х_ne_n=(e)x x=(e)X=(e’)SX (e’)X’=(e’)SX SX=X’(2) [φ]_e_’=S[φ]_eS^-1 (3)

SX=X’(2) - Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису

φ(х)=(е)[φ]_eX=(e’)S[φ]_eX=(e’)S[φ]_eS^-1X’ φ(х)=(e’)S[φ]_eS^-1X’ X’=SX=>X=S^-1X’

(e’)[φ]_eX^-1=(e’)S[φ]_eS^-1X’ [φ]_eX’=S[φ]_eS^-1X’ =>X’([φ]_e_’ -S[φ]_eS^-1)=0=> X’- любой вектор, матрица нулевая=> [φ]_e_’ -S[φ]_eS^-1=0=> [φ]_e_’ =S[φ]_eS^-1(3)

Формулы преобразования вектора и матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Билет 13 Угол между 2 мя прямыми , условия параллельности и перпендикулярности. Преобразование линейного оператора при переходе к новому базису

Название	Вид формулы	Геометрич. Смысл параметра
Угол между 2мя прямыми А) у=к₁х+b₁ Y=к₂х+b₂ Б) A₁x+B₁y+C₁=0 A₂x+B₂y+C₂=0	Tgφ= Cosφ= = =	K₁, k₂- угловой коэффициент n₁=(A₁,B₁) n₂=(A₂,B₂)
Условия \|\|	А) k₁=k₂ Б)
Условие перпендикулярности	K₂=- k₁≠0 Б) A₁A₂+B₁B₂=0
Расстояние от (.) до прямой на плоскости	d=	M₀(x₀,y₀) данная(.) Ax+By+C=0 уравнение плоскости
Угловой коэффициент	K=	M₁(x₁,y₁) L M₂(x₂,y₂) L

φ(х)=(е)[φ]_eX=(e’)S[φ]_eX=(e’)S[φ]_eS^-1X’ φ(х)=(e’)S[φ]_eS^-1X’ X’=SX=>X=S^-1X’

Формулы преобразования вектора и матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Билет14Эллипс определение, каноническое уравнение чертёж

Решение неоднородной системы линейных уравнений методом гаусса

Эллипс геометрическое место точек плоскости сумма, расстояний которых до 2х данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а

М₁F₂+MF₁=2a

+ =2a = (x+c)²+y²=4a²-4a +(x-c)²+y²

X²+2xc+c²=4a²-4a +x²-2xc+c² 4xc-4a²=-4a (xc-a²)²=a² (cx-a²)²=a²(x²-2cx+c²+y²)

C²x²-2a²cx+a⁴=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y² (a²-c²)x²+a²y²=a⁴-a²c² (a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²) (a²-c²)>0

A²-c²=b² обозначим b²x²+a²y²=a²b²\:a²b²

=1 – каноническое уравнение эллипса

А₁,А₂; В₁, В₂ – вершины эллипса

F₁,F₂ – фокусы эллипса А₁А₂=2а

А- большая полуось, b – малая полуось с- половина фокусного расстояния а²=b²+c² связь между параметрами эллипса

Число ε= =>эксцентриситет эллипса, служит мерой сплющенности эллипса, чем больше ε , те больше сплющен эллипс. Чем больше с те больше сплющен эллипс, с=0 – окружность 0<ε<1 c<a – для эллипса ε [0;1]

Прямые параллельные оси Оу и имеющие уравнения Х= – называется директрисами эллипса

Расстояние от точки эллипса до фокуса называется фокальным радиусом эллипса r₁=a+εx r₂=a-εx

Окружность является частным случаем эллипса

Если (.) F₁ и F₂ совпадают, т.е. с=0 то эллипс становится окружностью. =1 х²+у²=а² Фокальные свойства Эллипса???

Решение неоднородной системы линейных уравнений методом Гаусса

А₁₁х₁₁+…+а₁_nx₁_n=b₁

A_k₁x₁+…+a_knx_kn=b_k (1) – система

2 системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает.

А= расширенная матрица системы однозначно определяет систему

Элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы (1). Переводят систему (1) в эквивалентную

Приведём расширенную матрицу к ступенчатому виду, элементарными преобразованиями строк

А А’= (2)

Система (1) совместна, тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде (2) b’_r₊₁ =0

0x₁+…0x_n=b_r₊₁ Система не совместна. Если при приведении расширенной матрицы к ступенчатому виду образуется строка b’_r₊₁ ≠0, то система не совместна.

Если r=n, то А’= (3) Считаем с конца строки

A’_nnx_n=b’_n

a’_n_-1,_n_-1x_n_-1+a’_n_-1,_nx_n=b’_n_-1x_n_-1=…

r<n Система имеет бесконечное множество решений. Поэтому есть общее решение и частное.

Параметрическая форма записи общего решения – это такая форма, в которой неизвестные x₁…x_n, выражаются как линейные функции некоторых параметров, принимающих произвольные значения

А’= (4) Нулевые строки отбрасываем, ведь 0=0

Алгоритм:

Неизвестные попавшие в углы ступенек называются базисными
Все остальные свободные
Переносим свободные неизвестные в правую часть и выражаем базисные неизвестные через свободные, эти выражения и есть общее решение системы в параметрической форме , роль параметров играют свободные переменные .

Пример1: 1) x₁,x₃,x₄ – базисные х₂,х₅- свободные

Обратным ходом алгоритма Гаусса получим в столбцах базисных переменных единичную матрицу Переписать строки расширенной матрицы на языке уравнений

X₁+4x₂+ x₅=

X₃- x₅=

X₄+2x₅=3

4)Выразить базисные неизвестные через свободные

X₁=-4x₂- x₅ Общее решение в параметрической форме

X₃= x₅-

X₄=-2x₅+3

Замечание: (5) является общим решением в том смысле, что после подстановки выражений (5) в исходную систему все уравнения превращаются в тождества

Придавая свободным переменным х₂ их₅ произвольные значения получаем частные решения системы

Если в системе есть хоть 1 свободная переменная, она имеет бесконечно много решений, поэтому по числу решений системы классифицируются следующим образом:

Число решений 0 система несовместна

Число решений 1 система определенная

Число решений ∞ система совестная неопределенная

Совестные r(A)=r(A) – Определённая r=n неопределенная r<n

Несовместная r(A)≠r( )

Билет15. Гипербола, определение, асимптоты, каноническое уравнение, чертёж. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Гипербола- геометрическое место точек плоскости разность расстояний которых до 2х данных точек называемых фокусами есть вличина постоянная равная 2а

1)Прямая не ограниченная

|MF₁-MF₂|=2a c²=a²+b² Связь между параметрами гипарболы

А₁А₂ – вершины гиперболы, F₁F₂ – фокусы

a<c y=+- bi при х=0

а- действительная ось, b - мнимая ось, с – половина фокусного расстояния

Число ε = называется эксцентриситетом гиперболы ε>1

Прямые параллельные оси Оу и имеющие уравнение называются директрисами гиперболы

Х= Левая ветвь r₁-εx-a r₂-εx+a

Правая ветвь r₁=εx+a r₂=εx-a

Прямые с уравнениями у= x называются асимптотами гиперболы

Фокальные свойства выходит будто его выпустили из другого фокуса

a=b на 45 градусов

Если гипербола равнобочная т.е. а=b , то повернутая на 45 градусов она превращается в «школьную»

Собственные элементы и собственные значения линейного оператора

Ненулевой элемент Х линейного пространства V называется собственным элементом линейного оператора [φ] если для него выполняется равенство φ(х)=γх (1) х≠0 V при этом γ называется собственным значением(числом) линейного оператора φ соответствующим элементу Х

γх=γ’х =>(γ-γ’)x=0=> γ=γ’

Собственный элемент под действием оператора меняется самым простейшим методом( может только растянуться)

Как равенство (1) выглядит на языке матриц

Фиксируем (е) => [φ]_e= A

Φ(x)=(e)[φ]_ex γx=(e)γx

AX=γX (1’)

AX-γEX=0 X≠0 (A-γE)X=0 (2) Однородная система линейных уравнений с матрицей A-γE

|A-γE| =0 Чтобы система 2 имела ненулевое решение необходимо и достаточно чтобы

|A-γE| = =γЕ= = )( -а₂₁а₁₂=γ²-γ(а₁₁+а₂₂)+а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂

Билет 16.Парабола определение, каноническое уравнение, чертёж.

Парабола- геометрическое место точек равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.

Р- параметр параболы, расстояние от фокуса до директрисы MF=MK

= - каноническое уравнение параболы

- эксцентриситет r=x+ Фокальные свойства параболы: луч идёт параллельно оси, симметрии параболы. Собираются в одной точке.

Собственные векторы линейного оператора, относящиеся к разным собственным значениям.

(1) х≠0 V γ- называется собственным значением(числом) линейного оператора φ соответствующим элементу Х

γх=γ’х =>(γ-γ’)x=0=> γ=γ’

Собственный элемент под действием оператора меняется самым простейшим методом( может только растянуться)

Как равенство (1) выглядит на языке матриц

Фиксируем (е) => [φ]_e= A

Φ(x)=(e)[φ]_ex γx=(e)γx

AX=γX (1’)

AX-γEX=0 X≠0 (A-γE)X=0 (2) Однородная система линейных уравнений с матрицей A-γE

|A-γE| =0 Чтобы система 2 имела ненулевое решение необходимо и достаточно чтобы

|A-γE| = =γЕ= = )( -а₂₁а₁₂=γ²-γ(а₁₁+а₂₂)+а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂

Билет 17 Линейное пространство, подпространство, линейная оболочк\

Линейным пространством V над полем F называется система элементов V с операциями сложения элементов и умножения элементов на числа из поля при этом должны выполняться следующие аксиомы линейного пространства.

Подмножества L линейного пространства V называется подпространством если оно является пространством относительно операций определённых на V.

Линейная оболочка элементов а₁...а_к

L(а₁...а_к) = {α₁а₁+…+α_na_n, α₁….α_n R}

Теорема : Линейная оболочка является пространством (подпространством )

L V L – подпространство  1) 2) a= α₁а₁+…+α_ka_kb=β₁a₁+…+β_ka_k

₁₎A+b= (α₁+β₁)a₁+…+ (α_k+β_k)a_k _L

₂₎_αa₌_αα₁_a_1+…+_ααkak _L

Привидение уравнения линий второго порядка к каноническому виду

Эллипс геометрическое место точек плоскости сумма, расстояний которых до 2х данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а

М₁F₂+MF₁=2a

+ =2a = (x+c)²+y²=4a²-4a +(x-c)²+y²

X²+2xc+c²=4a²-4a +x²-2xc+c² 4xc-4a²=-4a (xc-a²)²=a² (cx-a²)²=a²(x²-2cx+c²+y²)

C²x²-2a²cx+a⁴=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y² (a²-c²)x²+a²y²=a⁴-a²c² (a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²) (a²-c²)>0

A²-c²=b² обозначим b²x²+a²y²=a²b²\:a²b²

=1 – каноническое уравнение эллипса

1)Прямая не ограниченная |MF₁-MF₂|=2a

Р- параметр параболы, расстояние от фокуса до директрисы MF=MK

= - каноническое уравнение параболы

Билет18 Векторы линейные операции над ними, симметрические матрицы и их характеристические числа и собственные векторы.

Вектором называется направленный отрезок прямой, векторы в аналитической геометрии рассматриваются с точностью до параллельного переноса. ( мы не фиксируем начало вектора)

Длиной вектора или его модулем называется расстояние между началом и концом вектора. Если это расстояние равно нулю, то вектор называется нулевым или обозначается 0. Направление – произвольное

Векторы, расположенные на параллельных прямых – коллинеарные

Векторы расположенные на прямых параллельных одной и той же плоскости, называются компланарными.

2 вектора всегда компланарны

Суммой двух векторов является вектор для нахождения которого можно пользоваться двумя правилами: правилом параллелограмма и правилом треугольника.

Правило параллелограмма: суммой векторов а и b приложенных к одной точке, называется вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах а и b.

Правило треугольника: Если начало вектора b совещается с концом вектора а, то суммой векторов а и b называется вектор, направленный из начала вектора а в конец вектора b.

Разностью векторов а и b называется вектор с, равный сумме вектора а и вектора, противоположного b.

Произведением вектора а на действительное число γ называется вектор b=γa, такой что 1)|b|=|γ||a|, 2)b a, если γ>0, и b a, если γ<0 Из этого определения следует, что а||b 

Вектором а₀ называется ортом вектора а, если |a₀|=1 и а₀ а. Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором или просто ортом.

Симметрические матрицы и их характеристические числа и собственные векторы.

?????????????????????????????????????

Билет 19Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве

Декартовой системой координат на плоскости( в пространстве) называется совокупность точки( начала координат) и ортонормированного базиса. а=а₁i+a₂j+a₃k=(a₁, a₂, a₃)=a |i|=|j|=1 I перпендикулярна j. В пространстве V₃ геометрических векторов рассмотрим различные базисы {e₁,e₂,e₃} такие что e₁,e₂,e₃попарно перпендикулярны и |e₁|=|e₂|=|e₃|=1 Такие базисы называются ортонормированными. Некоторые из них похожи на другие т.е. совмещаются при подходящих поворотах. Если брать только непохожие базисы то останется только два, буде говорить класса ориентации. Правый ортонормированный базис в V₃ называется декартовым прямоугольным базисом. Обозначается такой базис {I,j,k}. Совокупность точки О (начала координат) и базиса {I,j,k}называется прямоугольной декартовой системой координат. Проекцией Пр_ba вектора а на вектор b называется длина вектора b’ взятая со знаком +, если b b’ и со знаком минус, если b b’. Координаты вектора а в декартовой прямоугольном базисе являются проекциями а на координатные оси:

а=xi+yj+zk x=пр_ia ; y= пр_ja z= пр_ka

Если α,β,γ – углы, которые вектор а составляет с векторами I,j,k, то x=|a|cosα y=|a|cosβ z=|a|cosγ a₀=(cosα,cosβ,cosγ)= (x,y,z)

Величины cosα,cosβ,cosγ называются направляющими косинусами вектора а и связаны соотношением: соз²α+ соз²β+соз²γ=1. Длина вектора а находится по формуле |a|= . Вектор ОМ= xi+yj+zk называется радиус-вектором точки М(x,y,z). Если М₁(х₁,у₁z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂) - две точки в прямоугольной декартовой системе координат, то вектор М₁М₂ имеет координаты (x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁). Пусть А(х₁,у₁z₁) и В(х₂,у₂,z₂)- две точки в прямоугольной декартовой системе координат, а точка М делит отрезок АВ в отношении =γ. Координаты точки М находятся по следующи формулам деления отрезка в дано соотношении:

Х_м= у_м= z_M= . Пусть а=(х₁,у₁z₁) и b=(х₂,у₂,z₂)-векторы в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда

а=b x₁=x₂;y₁=y₂;z₁=z₂; a||b c=a+b c=(x₂+x₁,y₂+y₁,z₂+z₁) b=γa b=(γх₁, γу_1,γz₁)

Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений

Условие компланарности : 3 вектора компланарны тогда и только тогда когда их смешанное произведение равно 0

Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Определение : Фундаментальной системой решений(ФСР) однородной системы линейных уравнений (1) называется базис пространства решений этой системы . Пусть ФСР = {C₁…C_k} x L [x=α₁C₁+…+α_kC_k] (2)

(2)называется векторной формой записи общего решения однородной системы (1)

Нахождение ФСР 1)x₁,…,x_r– базисные х_к+1,..,х_n– свободные

2) Выражение базисных элементов через свободные

Х₁= а₁_r₊₁x_r₊₁+…+ a₁_nx_n

X₂= а_2r+1x_r+1+…+ a_2nx_n(3)

X_r= = а_rr+1x_r+1+…+ a_rnx_n

Найдём общее решение в параметрической форме. Чтобы найти векторы С₁,…, С_к(ФСР) придадим свободным неизвестным Х_r₊₁,...,X_nлинейно независимые наборы значений (n-r).

Х_r₊₁,...,X_nПридадим свободным неизвестным и для каждого набора найдём частное решение r- базисных, n-r - неизвестных

С₁₌ C₂= Cn-r= (4) X₁= a_1r+1X_r+1a_1r+2X_r+2+…+a_1nX_n

Любое решение системы (1) линейно выражается через C₁, C_nX₀= предположим, что этот набор решений системы (1). Стало быть его компоненты удовлетворяют системе (2) равенств

а₁_r₊₁X₀_r₊₁+…+a₁_nX₀_n(5) Из (5) Следует что = X₀_r₊₁ +…+X₀_n (6)

X₀₂= а_2r+1X_0r+1+…+a_2nX_0n

X_0r= а_rr+1X_0r+1+…+a_rnX_0n

Из последнего (6) выражение следует что вектор

Х= = X₀_r₊₁ +…+X₀_n X = X₀_r₊₁C₁+…+ X₀_nC_n_-_r(7) мы получили что произвольные решения действительно равняются линейной комбинации ФСР. Векторы C₁… C_n_-_rобразуют базис пространства решения

Размерность пространства решений однородной системы уравнений n-r где n –число неизвестных r - ранг матрицы системы

Билет 21 Квадратичные формы, преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Квадратичной формой n переменных x₁….x_n называется однородным многочлен второй степени относительно этих переменных:

Ф(x₁….x_n) = а₁₁х₁²+a₁₂x₁x₂+…+a₁_nx₁x_n+a₂₁x₂x₁+a₂₂x₂²+…+a_nnx_n², (1) или в матричном виде Ф(x₁….x_n)= Х^ТАХ, где Х= , А=(а_ij)_NxN_.

Квадратичная форма – функция, ставящая в соответствие каждому элементу х евклидова пространства Е_nнекоторое вещественное число Ф(х). Тогда Ф в (1) есть не что иное как функция от координат вектора х.

Матрица А, называемая матрицей квадратичной формы Ф, всегда симметрична, поскольку мы всегда можем потребовать, чтобы а_ij= а_ji,так как это коэффициенты при равных произведениях х_ix_j и x_jx_i.

По сколько в (1) используются координаты вектора, то эта запись зависит от выбранного базиса, и, следовательно, от базиса зависит также и матрица квадратичной формы. Пусть ε и ε’ – два базиса Е_n, А- матрица квадратичной формы Ф в базисе ε, а А’ - в базисе ε’. Тогда А’= A (2)

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводятся в другую посредством невырожденного линейного преобразования координат. Поскольку при невырожденном линейном преобразовании базис переходит в базис, матрицы двух эквивалентных квадратичных форм будут связаны соотношением вида (2).

Каноническим видом квадратичной формы называется эквивалентная ей квадратичная форма, содержащая только квадраты переменных:

Ф’(x₁….x_n)= γ₁x₁²+…+γ_nx_n²=X^TBX , B= . Матрица квадратичной формы в каноническом виде диагональна. Базис, в котором квадратичная матрица принимает канонический вид, называется каноническим.

Прямая в пространстве, переход от общих уравнений к каноническим.

Общее уравнение прямой в пространстве:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 Чтобы плоскости не были параллельны N₁=(A₁,B₁,C₁) N₂=(A₂,B₂,C₂) N₁xN₂≠0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (1)

N₁xN₂= =( , , ) ( )²+( )²+( )²≠0 (2)

Каноническое уравнение прямой в пространстве М₀М||S = S=(m,n,p) – направляющий вектор

Если одно или 2 из чисел m,n,p равны 0 это означает что соответствующий числитель равен 0

Параметрические уравнения прямой в пространстве

t- любое действительное число

X=mt+x₀ Y=nt+y₀ Z=pt+z₀(4)

M,n,p – любого параллельного вектора направляющего Уравнения прямой проходящей через 2 точки. S=M₁M₂

Угол между прямой и плоскостью P: Ax+By+Cz+D=0,то N=(A,B,C) S=(m,n,p) sinα=|cosβ| sinα= (6)

Условие параллельности и перпендикулярности L||p:Am+Bn+Cp=0 L перпендикулярна p:

Точка пересечения прямой и плоскости P: Ax+By+Cz+D=0 L:

Для нахождения точек пересечения прямой L и плоскости р нужно:

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Площадь параллелограмма =|S|d=|M₀M₁*S|

d= (7)

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Формулы деления отрезка в данном соотношении

γ= Найти координаты точки М М₁М=γММ₂

( )=γ(х₂ –x; y₂-y; z₂-z)

x-x₁= γ(х₂ –x) x-x₁= γх₂ –γx => X= (8) Замечание 1)γ≠-1

2)Если точка М вне отрезка, то γ<0 3)От 1ой точки до делящей, к длине отрезка, от делящей до 2ой

Билет 22Понятие евклидова пространства, неравенство Коши-Буняковского. Теорема Кронекера Капелли.

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нём каждой паре векторов х,у поставлено в соответствие число (х,у) , называемое скалярным произведением векторов х и у, для которого выполняются следующие условия:

(х,у) = (у,х)
(х₁+х₂,у) = (х₁,у)+(х₂,у)
(γх,у)= γ(х,у)
(х,х)≥0, причем (х,х) =0  х=0

Аксиомы евклидова пространства:

Нормой в линейном пространстве L называется функция, ставящая в соответствие каждому вектору х L вещественное число ||x|| , для которого выполняются следующие условия:

||x||>0 , если х≠0, и ||0||=0
||γx||=|γ| ||x||, γ R
x, y L (||x+y||≤||x||+||y||) Неравенство треугольника

В евклидовом пространстве Е норму можно задать следующим образом: ||x||=

Неравенство Коши Буняковского Е (|(x,y)|≤||x|| ||y||) Такая норма носит называние евклидовой.

Углом между векторами х и у называется угол φ [0,π] косинус которого вычисляется по формуле cosφ=

Векторы х и у называются ортогональными, если (х,у) =0. Система векторов x₁….x_nназывается ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны друг другу.

Теорема Кронекера Капелли

Система 1 совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. (1) совместна  r(A)=r(Ā)

=> (1) совместна т д ч r(A)=r(Ā) Существуют α₁α_n_–решения (1)

Система 2:

А¹= Аⁿ= B= тогда 2 означает α₁А₁+ …+ α_nA_n=B (2^’)=> Столбцы А¹, Аⁿ, В – линейно зависимы

Ранг столбцов r(А₁, …,A_n₎= r(А₁, …,A_n,B)
Потому что В через них линейно выражается
r(A)=r(Ā)

<= r(A)=r(Ā) т д что (1) совместна , В линейно зависимый со столбцами А₁, …,A_n

r(A)=r(Ā) => B линейно выражается через А₁, …,A_n=> α₁А₁+ …+ α_nA_n=B выполняется равенство (2^’), а (2^’) означает, чо выполняется равенство (2), => а из равенства (2) следует что система (1) совместна

Билет 23 Существование ортогонального базиса в евклидовом пространстве.

||x||>0 , если х≠0, и ||0||=0
||γx||=|γ| ||x||, γ R
x, y L (||x+y||≤||x||+||y||) Неравенство треугольника

В евклидовом пространстве Е норму можно задать следующим образом: ||x||=

Неравенство Коши Буняковского Е (|(x,y)|≤||x|| ||y||) Такая норма носит называние евклидовой.

Углом между векторами х и у называется угол φ [0,π] косинус которого вычисляется по формуле cosφ=

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Площадь параллелограмма =|S|d=|M₀M₁*S|

d= (7)

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Формулы деления отрезка в данном соотношении

γ= Найти координаты точки М М₁М=γММ₂

( )=γ(х₂ –x; y₂-y; z₂-z)

x-x₁= γ(х₂ –x) x-x₁= γх₂ –γx => X= (8) Замечание 1)γ≠-1

2)Если точка М вне отрезка, то γ<0 3)От 1ой точки до делящей, к длине отрезка, от делящей до 2ой

Билет 24 Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогональных преобразований.

Пусть А матрица квадратичной формы в старом ортонормированном базисе ε. Нам необходимо подобрать такую смену базиса чтобы в новом базисе ε’ матриа квадратичной формы стала диагональной т.е надо подобрать такую невырожденную матрицу S= , чтобы S^TAS=D=

Рассмотрим в пространстве Е_nлинейный оператор φ такой что |φ|_E=A. Поскольку матрица А симметрична, оператор φ является самосопряженным.Для этого оператора сущетсвует ортонормированный базис из собственных векторов φ, который обозначает за ε’. Как нам известно, в базисе из собственных векторов матрица линейного оператора принимает диагональный вид, причём по диагонали стоят собственные значения оператора, т.е. для S= ,

S^-1AS= S – матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному и она является ортогональной.Для ортогональной матрицы S^T=S^-1 чтд

Таким образом для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо:

Записать матрицу А данной квадратичной формы Ф
Найти собтсвенные числа соответсвующего саосопряженного оператора φ т.е. решить характерестическое уравнение |A-γE|=0 . Пусть γ₁,...,γ_n– собственные числа. Тогда и канонический вид квадратичной формы Ф будет следующий:

Ф(x₁’,…,x_n’)=γ₁(x₁’)²+…+ γ_n(x_n’)²

Найти собственные векторы оператора φ. Пусть это векторы а₁…а_n. Если все корни характерестического уравнения простые, то ти векторы образуют ортогональный базис в силу свойств самосопряженного оператора. Еси есть кратные корни то для собственных векторов , соответствующих одному собственному значению,птребуется провести процесс ортогонализации.
Из полученного ортогонального базиса сделать ортонормированный: е_i= . Это и будет искомый канонический базис.

Исследование общего уравнения плоскости.

1)Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 вектор n=(A,B,C)≠0

2) Плоскость перпендикулярная вектору n=(A,B,C) и проходящая через точку M₀=(X₀,Y₀,Z₀): A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

4)Плоскость отсекающая на осях координат ненулевые отрезки a,b,c описывается уравнением в отрезках:

Отклонение точки М₁=(X₁,Y₁,Z₁) от плоскости L заданной нормальным уравнением, находится по формуле:

δ(M₁,L)=x₁cosα+y₁cosβ+z₁cosγ-p

Расстояние от точки М₁=(X₁,Y₁,Z₁) до плоскости L находится по формуле:

р(M₁,L) =|δ(M₁,L)|=| x₁cosα+y₁cosβ+z₁cosγ-p|=

A=0 L||Ox B=0 L||Oy C=0 L||Oz D=0 L через начало координат

Вектор А₀, направленный так же как и вектор А и имеющий единичную длину называется ортом вектора А А₀=

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

P₁=A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 P₂=A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 Cosα=

α=P₁^P₂ P₁||P₂

Условие ортогональности: Р₁перпендикулярна Р₂ =0

Билет25 Классификация систем линейных уравнений по числу решений, ступенчатый вид расширенной матрицы системы в каждом случаи.

Система называется совестной если она имеет решение.В противном случаи систеа называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение. Таким образом, имеется 3 варината

Система несовместна (имеет 0 решений)
Система определенная (имеет одно решение)
Система совместная неопределённая (бесконечное число решений) Ступенчатый вид расширенной матрицы.

Несовместные r_A

Совместные r_A=

Определённая r_A=n
Совместные неопределённые r_A<n

*- любое число, - любое ненулевое число

Нормальное уранвение плоскости, приведение общего уравнения плоскости к нормальному.

1)Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 вектор n=(A,B,C)≠0

Координаты единичного вектора направляющие косинуса.

Билет26 Самосопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе.

Пусть φ линейный оператор над евклидовым пространством Е_n. Линейный оператор φ* называется сопряженным оператору φ, если Е_n((φ x,y)=(x, φ*y)).

Для всякого оператора φ существует и при том единственный сопряженный оператор φ*. Если в ортонорированном базисе оператор φ имеет матрицу А, то оператор φ* имеет матрицу А^Т.

Оператор φ называется самосопряженным, если φ=φ*. Понятно что если А матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе, то А=А^Т. Матрица с таким свойство называется симметрической или симметричной.

Свойства самосопряженного оператора:

Матрица самосопряженного оператора влюбом ортонормированном базисе симметрична
Все характерестические числа самосопряженного оператора вещественны
Различным собственным числам самосопряженного оператора соотвествуют ортогональные собствеенные векторы
Если φ сомасопряженный оператор над Е_n, то в Е_nсуществует ортонорированный базис из собственных векторов φ, и матрица оператора в этом базисе имеет вид: где γ – собственные числа оператора φ.

Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0

(1) AX=0 (1’)

Замечание1: Однородные системы совместны, Множество однородной системы не пусто

Теорема1:Множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством пространства RⁿПусть L – множество решений (1). Х,У L, требуется доказать 1) (х+у) L ; 2) α R [αx L]

x L => AX=0 => AX+AY=0 A(X+Y)=0 => X+Y L

y L => AY=0=> AX+AY=0 A(X+Y)=0

A(αX)= αAX=0 => αX L

(2)называется векторной формой записи общего решения однородной системы (1)

Нахождение ФСР 1)x₁,…,x_r– базисные х_к+1,..,х_n– свободные

2) Выражение базисных элементов через свободные

Х₁= а₁_r₊₁x_r₊₁+…+ a₁_nx_n

X₂= а_2r+1x_r+1+…+ a_2nx_n(3)

X_r= = а_rr+1x_r+1+…+ a_rnx_n

С₁₌ C₂= Cn-r= (4) X₁= a_1r+1X_r+1a_1r+2X_r+2+…+a_1nX_n

а₁_r₊₁X₀_r₊₁+…+a₁_nX₀_n(5) Из (5) Следует что = X₀_r₊₁ +…+X₀_n (6)

X₀₂= а_2r+1X_0r+1+…+a_2nX_0n

X_0r= а_rr+1X_0r+1+…+a_rnX_0n

Из последнего (6) выражение следует что вектор

Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе

Линейный оператор φ над евклидовым пространством Е называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, т.е. Е((х,у)=(φх,φу)).

Матрица А ортогонального оператора в некотором ортонормированном базисе называется также ортогональной и обладает там характерестическим свойством, что её обратная матрица совпадает с её транспонированной А^Т=А^-1.

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.

Пусть ε=(е₁…е_n) и ε’ =(е’₁…е’_n)- ортонормированные базисы в Е, S= ,.Тогда по определению атрицы перехода столбцы матрицы S (и строки S^T) состоят из координат векторов из ε в базисе ε’. Докажем что S ортогональна, т.е. S^TS=E. Так как ε и ε’ – ортонормированны,то

S^TS= = =E, т.е.S^T=S^-1

Гипербола

1)Прямая не ограниченная

|MF₁-MF₂|=2a c²=a²+b² Связь между параметрами гипарболы

А₁А₂ – вершины гиперболы, F₁F₂ – фокусы

a<c y=+- bi при х=0

а- действительная ось, b - мнимая ось, с – половина фокусного расстояния

Число ε = называется эксцентриситетом гиперболы ε>1

Прямые параллельные оси Оу и имеющие уравнение называются директрисами гиперболы

Х= Левая ветвь r₁-εx-a r₂-εx+a

Правая ветвь r₁=εx+a r₂=εx-a

Прямые с уравнениями у= x называются асимптотами гиперболы

Фокальные свойства выходит будто его выпустили из другого фокуса

a=b на 45 градусов

Если гипербола равнобочная т.е. а=b , то повернутая на 45 градусов она превращается в «школьную»

Билет28 Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.

S^TS= = =E, т.е.S^T=S^-1

Векторное произведение, его геометрический смысл, критерий компланарности векторов.

Векторное произведение векторов ab называется вектор с=AxB, удовлетворяющий условиям 1

1)С перпендикулярен А; С перпендикулярен B

2) |c|=|a||b| sin(a^b)

3) A,b,c – правая тройка

Модуль векторного произведения есть площадь параллелограмма построенного на сомножителях

Векторное произведение направлено как головка буравчика который мы вращаем от 1 множителя ко 2ому

Свойства:

1)АхВ= -ВхА – анти коммутативность

2)(А+В)хС=АхС+ВхС(αА)хВ=α(АхВ)

АхВ= = i -j +k Условия коллинеарности 2 вектора коллинарны тогда и только тогда когда векторное произведение их равно 0

Компланарность

Билет 29Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.

Таким образом для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо:

Записать матрицу А данной квадратичной формы Ф
Найти собтсвенные числа соответсвующего саосопряженного оператора φ т.е. решить характерестическое уравнение |A-γE|=0 . Пусть γ₁,...,γ_n– собственные числа. Тогда и канонический вид квадратичной формы Ф будет следующий:

Ф(x₁’,…,x_n’)=γ₁(x₁’)²+…+ γ_n(x_n’)²

Найти собственные векторы оператора φ. Пусть это векторы а₁…а_n. Если все корни характерестического уравнения простые, то ти векторы образуют ортогональный базис в силу свойств самосопряженного оператора. Еси есть кратные корни то для собственных векторов , соответствующих одному собственному значению,птребуется провести процесс ортогонализации.
Из полученного ортогонального базиса сделать ортонормированный: е_i= . Это и будет искомый канонический базис.

Различные уравнения плоскости в пространстве, расстояния от точки до плоскости.

1)Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 вектор n=(A,B,C)≠0

2) Плоскость перпендикулярная вектору n=(A,B,C) и проходящая через точку M₀=(X₀,Y₀,Z₀): A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

4)Плоскость отсекающая на осях координат ненулевые отрезки a,b,c описывается уравнением в отрезках:

Отклонение точки М₁=(X₁,Y₁,Z₁) от плоскости L заданной нормальным уравнением, находится по формуле:

δ(M₁,L)=x₁cosα+y₁cosβ+z₁cosγ-p

Расстояние от точки М₁=(X₁,Y₁,Z₁) до плоскости L находится по формуле:

р(M₁,L) =|δ(M₁,L)|=| x₁cosα+y₁cosβ+z₁cosγ-p|=

A=0 L||Ox B=0 L||Oy C=0 L||Oz D=0 L через начало координат

Вектор А₀, направленный так же как и вектор А и имеющий единичную длину называется ортом вектора А А₀=

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

P₁=A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 P₂=A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 Cosα=

α=P₁^P₂ P₁||P₂

Условие ортогональности: Р₁перпендикулярна Р₂ =0

Расстояние от точки до плоскости

d=|M₀K|=| - |=| |= d= d=

Доказать линейную зависимость:

Линейной зависимостью векторов а₁,…,а_nназывается вектор α₁а₁+…+α_na_n где α₁α_nлюбые действительные числа

Если α1=α2=….=α_n=0 то линейная комбинация – тривиальная

Система векторов а₁,…,а_nназывается линейно зависимой если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная ненулевому вектору, в противно случаи система векторов - линейно независимая

Если b= α₁а₁+…+α_na_n, то говорят что b линейно выражается через а₁,…,а_n

(n≥2) Система векторов а₁,…,а_n называется линейно зависимой если хотя бы один из них линейно выражается через остальные, в противно случаи а₁,…,а_n линейно независима.

а₁,…,а_n– л.з.(n≥2) α1….α_n не все равные 0 такие, что α₁а₁+…+α_na_n=0

Пусть α₁≠0 α₁а₁= α₂а₂-…-α_na_n/: α₁а₁= α₂а₂/ α₁-…-α_na_n/ α₁=> а₁= α₂а₂+…+α_na_nа₁- α₂а₂-…- α_na_n=0

а₁,…,а_nл.з. 1) α1 ….α_nне все =0 α₁а₁+…+α_na_n=0 2) n≥2 хотя бы один выражается через остальные

а₁,…,а_nл.н. 1) α₁а₁+…+α_na_n=0 α1=α2=….=α_n=0 2) n≥2 ни один не выражается

Билет 30 Привидение уравнений линий второго порядка к каноническоу виду

М₁F₂+MF₁=2a

+ =2a = (x+c)²+y²=4a²-4a +(x-c)²+y²

X²+2xc+c²=4a²-4a +x²-2xc+c² 4xc-4a²=-4a (xc-a²)²=a² (cx-a²)²=a²(x²-2cx+c²+y²)

C²x²-2a²cx+a⁴=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y² (a²-c²)x²+a²y²=a⁴-a²c² (a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²) (a²-c²)>0

A²-c²=b² обозначим b²x²+a²y²=a²b²\:a²b²

=1 – каноническое уравнение эллипса

1)Прямая не ограниченная |MF₁-MF₂|=2a

Р- параметр параболы, расстояние от фокуса до директрисы MF=MK

= - каноническое уравнение параболы

Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров.

1)Прямая на плоскости хОу Р хОу: z=0 P=Ax+By+Cz+D=0 если в хОу, то С=0

P=Ax+By+C =0 (1)

Из общего уравнения (1) можно найти:

Вектор нормали к прямой n=(A,B)
Направляющие S=(-B,A)
Угол наклона прямой – угол, лежащий в верхней полуплоскости и образованный прямой с положительным направление оси Ох (α)

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона, относится к прямым не параллельным оси Оу

Вектор нормали прямой называется вектор перпендикулярный прямой

Направляющий вектор параллелен прямой

Ax+By+Cz+D=0 (1) n=(A,B) S=(-B,A)

Виды уравнений прямой на плоскости

Название	Вид уравнения	Геометрический смысл параметра
Общее	Ax+By+Cz+D=0	N=(A,B) перпендикулн L S=(-B,A) \|\|L
Уравнение прямой с угловым коэффициентом	Y=kx+b	K=tgα- угл. Коэфф. B- отрезок на оси Oy
Ур.пр. проходящей через данную точку в данном направлении	y-y₀=k(x-x₀)	M₁(x₁,y₁) L k- угловой коэффициент
Ур. Пр. проходящей через 2 данные (.)		M₁(x₁,y₁) L М₂(х₂,у₂) L
Ур.Пр. в отрезках на осях		а – отрезок на оси Ох , b- отр.на оси Оу
Нормальное уравнение	Xcosα+ysinα-p=0	n=(cosα,sin ) p- расстояние прямой от начала координат
Уравнение прямой \|\| оси Оу	х=а	а- отрезок на оси Ох

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.04.2019134.14 Кб6Лекция № 3мм.doc
#
25.11.2018295.94 Кб13лекция, организованная преступность.doc
#
27.03.201531.64 Кб59Лекция_1.docx
#
27.03.201547.24 Кб15Лекция_История.docx
#
03.05.201514.79 Mб7Летят журавли. Досье.pdf
#
18.04.2019266.82 Кб3Линейная алгебра 3 билета (Восстановлен).docx
#
27.03.2015632.83 Кб55ЛинПрост.doc
#
14.08.20197.54 Mб9Липпман.doc
#
17.04.20192.96 Mб13Литвинцева Г.П. Экон_теория (Учебник).doc
#
06.08.201944.72 Кб13литератур,ее.docx
#
27.03.2015252.86 Кб7Литература 2-го ИЯ.pdf