- •Линейные пространства
- •Некоторые свойства произвольных линейных пространств.
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •Действия над векторами в координатной форме.
- •Замена базиса
- •Евклидовы пространства.
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Норма вектора. Нормированное пространство
- •Ортонормированный базис конечномерного Евклидового пространства
- •Ортогональные матрицы и их свойства
- •Линейные операторы.
- •Действия над линейными операторами
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора
- •Собственные числа и собственные векторы
- •Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов
- •Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
Линейные пространства
В дальнейшем мы будем говорить о множестве некоторых элементов произвольной природы, для которых определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным ограничениям, называемым аксиомами.
Такие множества называются пространствами, а их элементы – точками или векторами. Однако подчеркнем, что «векторы» таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с векторами, изучаемыми в геометрии. Элементами пространства могут быть функции, матрицы, системы чисел и т.д., а в частном случае и обычные векторы.
В дальнейшем из всех пространств мы выделим для изучения так называемые линейные пространства, обладающие целым рядом общих свойств, которые и будут установлены далее.
Прежде всего, определим числовое поле. Числовым полем К называется множество чисел , , , ... , если для любых и из множества К числа + , , - , / также принадлежат этому множеству. Т. е. Множество чисел, замкнутых относительно арифметических операций. Например, множество чисел вида a + b2, где a и b любые рациональные числа образуют поле, а если a и b – целые числа, то поля не образуются. Действительно, рассмотрим, например, операцию / : = a + b2 = c + d2
отсюда видно, что если a, b, c, d – целые числа, то выражения - вовсе не целые!
Теперь, наконец, определим линейное пространство. Линейным или афинным пространством над числовым полем K называется множество R элементов, которые будем называть векторами и обозначать x; y; z, ... , если:
1). Указан закон, согласно которому любой паре векторов x R (значок означает, что х – элемент множества R) и y R однозначно ставится в соответствие вектор z R, также принадлежащий множеству R. Вектор z называется суммой векторов x и y и обозначается z = x + y;
2). Указан закон, согласно которому каждому числу из поля K и любому вектору x R однозначно ставится в соответствие вектор z R. Вектор z называется произведением вектора x на число и обозначается z = x = x ;
3). Введение в этих двух пунктах операции сложения и умножения удовлетворяют следующим восьми аксиомам:
10. x + y = y +x переместительный закон
20. (x + y) + z = x + (y + z) сочетательный закон
30. Существует нулевой элемент 0 такой, что x + 0 = x для любого элемента x R или: 0 R | x R ( x + 0 = x )
40. Для каждого элемента x существует противоположный элемент x’ такой, что x + x’ = 0. Вектор x’ называется противоположным вектору x и обозначается –x или: x R (-x) R | x + ( - x) = 0.
50. 1 * x = x для каждого элемента x: x R (1 * x = x) – это существование единичного элемента.
60. ( x ) = ( ) x – сочетательное свойство относительно числового множителя.
70. ( + ) x = x + x – распределительное относительно суммы числовых сомножителей.
80. ( x + y ) = x + y – распределительное относительно суммы элементов.
Следует подчеркнуть, что в определении линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения x.
Примеры линейных пространств:
множество всех свободных векторов. Операции сложения и умножения векторов определены в аналитической геометрии. Элементарно можно проверить справедливость всех аксиом 10- 80. Т.е. множество всех свободных векторов является линейным пространством. Будем обозначать его V3. Аналогичные линейные пространства на плоскости и на прямой будем обозначать V2 и V1 соответственно.
Множество An, элементами которого служат упорядоченные совокупности n произвольных вещественных чисел (x1, x2, ... , xn). Элементы этого множества мы будем обозначать x = (x1, x2, ... , xn) и называть числа x1, ... , xn – координатами элемента x. В анализе множество An обычно называют n – мерным координатным пространством. В алгебраической трактовке – это совокупность всевозможных строк, каждая из которых содержит n вещественных чисел. Если определить операцию сложения и умножения как:
(x1 x2 ... xn) + (y1 y2 ... yn) = (x1+ y1; x2+ y2; ... ; xn+ yn)
(x1 x2 ... xn) = ( x1 x2 ... xn)
то можно убедиться в справедливости всех восьми аксиом.
Множество всех многочленов степени, не превосходящей n. В этом пространстве вектор x имеет вид:
x = A0 tn + A1 tn-1 + ... + An
Обратим внимание, что множество всех многочленов степени строго n не является линейным пространством. Действительно, если x = A0 tn + A1 tn-1 + ... + An , а у есть y = -A0 tn + A1 tn-1 + ... + An , то x + y = 2 A1 tn-1 + ... + 2 An – многочлен, степени ниже n!
4. Множество С [a, b] всех функций x = x (t), определенных и непрерывных на сегменте a t b. Операции сложения и умножения на число определены обычными правилами математического анализа. Легко видеть справедливость аксиом 10- 80.
Будем называть вещественным линейным пространством пространство, определенное над вещественным полем числом K. При более широком подходе можно брать числа из комплексного поля. В таком случае придем к понятию комплексного линейного пространства.