Множеством называется любая совокупность объектов, эти объекты элементы множеств.

А, В – множества а А элемент множества

Интуитивный принцип объемности:

1. 2 множества равны в то случаи когда они состоят из одних и тех же элементов. А=В  x A  x В

2. Множества В называется подмножеством множества А , если все элементы В являются элементами А. В А – В лежит в А В А  х В=>x А

3. Множество не содержащее ни одного элемента – пустое

А А А В А есть и А всегда лежит в самом себе.

4. Объединением множеств А и В называется множество элементов принадлежащих либо А либо В

А В=

5. Пересечение множеств А и В называется множество элементов принадлежащих и А и В. А В = (х/х А и х )

6. Универсальным множеством называется множество содержащее все элементы рассматриваемых множеств

7. Дополнением множества А называется множество элементов универсального множества не лежащих во множестве А Дополнение Ā, U универсальное множество Ā= (х U | х A) A Ā= U

Д

U

U

U

В

А

В

А

иаграммы Венна U

A

А

B A Ā

Теорема Кронекера – Капелли

Система 1:

Теорема Кронекера капелли

Система 1 совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. (1) совместна  r(A)=r(Ā)

1. => (1) совместна т д ч r(A)=r(Ā) Существуют α₁α_{n –} решения (1)

Система 2:

А¹ = Аⁿ = B= тогда 2 означает α₁А₁ + …+ α_n A_n =B (2^’ )=> Столбцы А¹, Аⁿ, В – линейно зависимы

• Ранг столбцов r(А₁, …,A_n) = r(А₁, …,A_n ,B)

• Потому что В через них линейно выражается

• r(A)=r(Ā)

2. <= r(A)=r(Ā) т д что (1) совместна , В линейно зависимый со столбцами А₁, …,A_n

r(A)=r(Ā) => B линейно выражается через А₁, …,A_n => α₁А₁ + …+ α_n A_n =B выполняется равенство (2^’), а (2^’) означает, чо выполняется равенство (2), => а из равенства (2) следует что система (1) совместна

3 Задание

Нет не может так как комплексные корни существуют попарно, либо их 2 либо 4, а та как уравнение 3ей степени, то комплексных корня может быть только 2

Числовое поле, аксиомы поля, поле комплексных чисел

Элемент нейтральный относительно данной двуместной операции это такой элемент, операция с которым другого леента не меняет а*в в=1 а+в в=0

Элементом обратным к данному, по отношению к данной операции, является такой элемент,который при операции с данным элементом, даёт нейтральный элемент. а*а^-1 = нейтральный 1 а+(-а) = нейтральный N

Множества F элементов с 2мя операциями + ,* называется числовым полем если для всех элементов этого множества и операций +, * выполняется следующие аксиомы:

х,у,z F 1) х+у =у + х коммунтативность

2) (x+y)+z = x+(y+z) ассоциативность

3) о F [x+0=x]

4) x (-x) [x+(-x)=0]

5) xy=yx

6) (xy)z=x(yz)

7) 1 F [x*1=x]

8) x 0 (x^-1) [x*x^-1 =1]

9) x(y+z) = xy+xz дистрибутивность

Поле комплексных чисел

I² =-1 мнимая единица ai, ai+b C={z=x+iy| x,y R}- множество комплексных чисел N

Коплексным числом в алгебраической форме называется число вида z= x+iy, где х,у произвольные действительные, при этом

X= Re z действительная часть комплексного числа

У= Im z мниая часть комплексного числа. Вещественное число можно рассматривать,как комплексное число с нулевой мнимой частью

Z₁+z₂= (x₁+x₂) +i(у₁+у₂) z₁= x₁+iy₁ z₂= x₂+iy₂ алгебраическая форма

Z_1*z₂= (x₁+iy₁)*( x₂+iy₂)= x₁*x₂+ iy₁x₂+ ix₁y₂+i²y₁y₂= (x₁*x₂- y₁y₂)+ i(y₁x₂+ x₁y₂)

= x - iy сопряженный к z

Z* = (x+iy)(x – iy)= x²- iy²= x²+y² R

z≠0 = = = - _ Алгебраическая формаМножество комплексных чисел С является полем

Обратная матрица, определение существование, формула

Теорема об обратной матрице:

Для квадратной матрицы А степени n существует обратная матрица А^-1 , такая что А^-1 *А=А*А^-1 = Е тогда и только тогда когда определитель матрицы |A| при этом:А^-1 = =>докажем,что эта матрица обратная _А^-1,тогда  |A|

Если |A|≠0 , то существует обратная матрица

Пусть _А^-1 требуется доказать, что |A| А^-1 *А=E => значит |A^-1*A| =1 тогда определитель |A^-1|*|A| =1 => |A| , |A^-1| = |A|^-1

Пусть |A| , тогда требуется доазать, что ^-1. Докажем что А*А^-1 = Е А*А^-1 = * транспанируем

* = = = E

А^-1 *А= E A*А^-1 *А=А

А*А^-1 = Е Если существует А^-1 то А называется невыраженной,обратимой, неособенной

А^*= Присоединенная всегда существует А*А^*= А^**А= |A| = E

Нахождение обратной матрицы: Метод элементарных преобразований Построим матрицу (A|E) размерности n x 2n и с помощью элементарных преобразований строк приведём ей к виду (Е|B). (A|E) (Е|B). При этом В = А^-1 . Если матрица (А|Е) никакими преобразованиями не приводится к нужному виду, это означает, что |A|=0 и А^-1 не существует

Билет 3 Комплексные числа в алгебраическом виде, операции над ними.

Поле комплексных чисел

I² =-1 мнимая единица ai, ai+b C={z=x+iy| x,y R}- множество комплексных чисел N

Коплексным числом в алгебраической форме называется число вида z= x+iy, где х,у произвольные действительные, при этом

X= Re z действительная часть комплексного числа

У= Im z мниая часть комплексного числа. Вещественное число можно рассматривать,как комплексное число с нулевой мнимой частью

Сложение:

Z₁+z₂= (x₁+x₂) +i(у₁+у₂) z₁= x₁+iy₁ z₂= x₂+iy₂ алгебраическая форма

Умножение:

Z_1*z₂= (x₁+iy₁)*( x₂+iy₂)= x₁*x₂+ iy₁x₂+ ix₁y₂+i²y₁y₂= (x₁*x₂- y₁y₂)+ i(y₁x₂+ x₁y₂)

iⁿ= i^4k*i^r=i^r где n=4k+r и r {0,1,2,3}

= x - iy сопряженный к z

Z* = (x+iy)(x – iy)= x²- iy²= x²+y² R

z≠0 = = = - _ Алгебраическая форма

Множество комплексных чисел С является полем

Деление:

= =

Ранг матрицы, нахождение его с помощью элементарных преобразований

A= A^’= …Aⁿ= A₁= (a₁₁,a₁₂ , …, a_1n) A₂=( a₂₁,a₂₂ , …, a_2n) A_k= (a_k1,a_k1 , …, a_kn)

1. Строки А₁;А_к называются линейно-зависимыми если существуют числа α₁…α_к не все равные 0 α₁А₁+…+α_кА_к=0

1^’) k 2 строки А₁…А_к называются линейно-зависимыми, если хотя бы одна из них линейно-выражается через остальные