5.3 Рекурсивные вычислительные процессы

Функция может вызывать другую функцию, та в свою очередь третью и т.д. В результате программы приобретают иерархическую структуру.

Простая рекурсия

В Паскале допускается, чтобы функция вызывала саму себя. Такой способ вы­зова называется простой рекурсией. Классическим примером использования ре­курсии является вычисление факториала целого положительного числа — n!.

Пример 50. Найти факториал N!, используя рекурсивную функцию FACT. Вычисление факториала осуществляется по рекуррентной формуле:

В этой программе рекурсивный процесс с каждым шагом упрощает задачу, сво­дя n! с помощью рекуррентной формулы к (n-1)! и далее до 1!, который по определению равен единице. Это событие и является решением, обеспечивающим завер­шение процесса вычисления факториала.

PROGRAM PR50;

VAR N: REAL;

FUNCTION FACT(A: REAL): REAL;

BEGIN

IF (A = 0) OR (A = 1) THEN FACT := 1

ELSE FACT := A * FACT(A - 1) {Рекуррентная формула}

END;

BEGIN

WRITELN(‘Введите число N');

READLN (N);

WRITELN(N: 3:0, '!=', FACT(N): 7:0)

END.

Графическими алгоритмами, в том числе и структурограммой, работу рекурсив­ной функции объяснить невозможно по той причине, что в оперативной памяти воз­никает и параллельно существует семейство копий такой функции с разными исход­ными данными. Пусть мы решаем пример 6 для 5! Временная диаграмма вычисли­тельного процесса представлена на рис. 5.3.

При вводе параметра N = 5 в момент времени Т₁, происходит вызов рекурсив­ной функции FACT(5) из тела основной программы. Управление передается функ­ции. В соответствии с рекуррентной формулой в теле рекурсивной функции при вызове функции выполняется оператор FACT := А * FACT(A - 1) для А = 5, то есть вызывается функция FACT(4). Это происходит в момент времени Т₂. В оператив­ной памяти создается еще один образ функции FACT и в качестве входного пара­метра ей дается значение А = 4. С момента времени Т₂ по Т₉ функция FACT(5) находится в пассивном состоянии, то есть существует, но не работает. С момента времени Т₂ по Т₃ выполняются операторы функции FACT(4).

FACT(5)
	T1	FACT(4)							T10
		T2	FACT(3)					T9
			T3	FACT(2)			T8
				T4	FACT(1)	T7
					T5 T6		Время жизни функции

Рис. 5.3. Семейство копий для рекурсивной функции FACT(5)

Происходит анализ параметра А, и поскольку А = 4, вызывается функция FACT(3) в момент времени Т₃. В оперативной памяти создается еще один образ функции FACT и в качестве входного параметра ей дается значение А = 3. С мо­мента Т₃ и до момента Т₈ функция FACT(4) становится пассивной, поскольку управление она передала функции FACT(3). Функция FACT(3) вызывает функ­цию FACT(2), а та в свою очередь функцию FACT( 1). Функция FACT(1) является последней в семействе, то есть она возвращает значение равное 1 в функцию FACT(2) в момент времени T₆. В этот момент код функции FACT(l) удаляется из оперативной памяти. Функция FACT(2) становится активной, вычисляет значе­ние равное 2 и в момент времени Т₇ передает управление FACT(3). Функция FACT(2) в момент времени Т₇ удаляется из памяти. Этот процесс продолжается до момента времени Т₁₀, когда рекурсивная функция завершает свою работу, возвра­щая вычисленное значение коду основной программы.

Опыт изучения рекурсивных функций показывает, что, несмотря на приведен­ное выше подробное описание, программист все же плохо чувствует работу рекур­сивных программ, поскольку принцип их действия выходит за рамки интуитивно­го понимания процессов программирования.