Производная параметрически заданной функции

Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями:  . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: ,  .

Переменная   называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение   и подставим его в оба уравнения:  . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку  , и эта точка будет соответствовать значению параметра  . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцевпараметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д.

В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр:   – и подставим его во второе уравнение:  . В результате получена обыкновенная кубическая функция.

В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому-что для нахождения производной параметрической функции существует формула:

Находим производную от «игрека по переменной тэ»:

Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы  , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».

Находим производную от «икса по переменной тэ»:

Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:

Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра  .

Что касается обозначений, то в формуле вместо записи   можно было просто записать   без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант  , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.

13

ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c (a; b), в которой f'(c) = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть 

Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x  [a; b] .

Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.

Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:

Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда

f'(c)=0. Теорема доказана.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках x=a иx=b, то на этой кривой найдется хотя бы одна точка с абсциссой c, a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox. Заметим, что доказанная теорема останется справедливой, если предположить, что на концах отрезка функция принимает равные значенияf(a)=f(b), не обязательно равные нулю. Кроме того, отметим, что если внутри [a; b] найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции f(x) не существует, то утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример. Функция   непрерывна на [–1; 1], обращается в нуль на концах отрезка. Но производная   не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка. Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c, a<c<b такая, чтоf(b) – f(a)=f'(c)(b – a). Доказательство. Обозначим   и рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – f(a) – k(x – a). Выясним геометрический смысл введенной функции. Для этого рассмотрим график данной функции на [a; b] и напишем уравнение хорды АВ. Заметим, что угловой коэффициент хорды  и она проходит через точкуA(а; f(a)). Следовательно, ее уравнение y = f(a) + k(x – a). Но F(x)=f(x)–[f(a)+k(x–a)]. ПоэтомуF(x) при каждом x есть разность ординат графика y= f(x) и хорды, соответствующих точкам с одинаковой абсциссой. Легко видеть, что F(x) непрерывна на [a; b] , как разность непрерывных функций. Эта функция дифференцируема внутри [a; b] и F(a)=F(b)=0. Следовательно, к функции F(x) можно применить теорему Ролля. Согласно этой теореме найдется точка c  (a; b), что F'(c)=0. Но F '(x) = f'(x) – k, а значит,F'(c) = f'(c) – k = 0. Подставляя в это равенство значение k, получим , что и требовалось доказать.

Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Рассмотрим график функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика на [a; b] хордой AB. Как мы уже отметили, отношение  для хорды AB, а f'(c) есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема утверждает, что на графике функции y=f(x)найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [a; b] и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x  (a; b), то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c  (a; b), что  .

Доказательство.Определим число  . Заметим, что g(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d  (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию.

F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].

Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(a; b) такое, что F'(c) = 0. Но

F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'(c) = f'(c) – k·g'(c) = 0,

откуда .

Заметим, что теорему Коши нельзя     доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k. Объясните почему.