1.2.5. Нечеткие методы представления данных

Одной из основных причин возникновения идеи нечеткого множества является так называемый принцип несовместимости, который заключается в том, что с увеличением размеров и сложности системы существенно усложняется ее моделирование с помощью известных математических выражений. Существенно возрастает число переменных и параметров, измерение и определение которых сильно затрудняется, а создание адекватной модели становится практически невозможным. Заде предложил лингвистическую модель, которая использует не традиционные математические выражения, а слова, отражающие качество. Применение этого метода не обеспечивает такую же точность, какой обладают регулярные математические модели, но дает возможность создать хорошее, качественное описание системы.

Центральным понятием систем, основанных на нечеткой логике, яв­ляется понятие нечеткого множества. Существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание его с помощью ха­рактеристической функции, определяемой следующим образом.

Пусть Е - универсальное множество, х - элемент Е, а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое множество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар , где -характеристическая функция принадлежности или просто функция принадлежности, принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М = [0,1]. Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = [0,1] и А - нечеткое множество с элементами из универ­сального множества Е и множеством принадлежностей М [10]. Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множе­ство А нормально, если его высота равна 1, т. е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 . При нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если . Непустое субнор-мальное множество можно нормализовать по формуле . Нечеткое множество унимодально, так как только на одном х из Е.

Носителем нечеткого множества А является обычное подмножество со свойством , т. е. носитель . Элементы , для которых называются точками перехода множества А.

Пример 1.7. Пусть Е = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, М = [0,1]. Нечеткое множест-во «малые числа» можно определить следующим образом: «малые числа» = 1/0 + 1/1 + 0,7/2 + 0,5/3 + 0,2/4 + 0/5. При этом, например, 0,2/4 означает ; Характеристики множества: высота = 1, т. е. множество является нормальным, носитель = {0,1,2,3,4}, точка перехода – {3}.

В приведенном примере 1.7 использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких, как скорость, время, расстояние, давление, температура и т. д., или когда выделяются полярные значения [13].

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1. Например, в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

Таблица 1.3. Функции принадлежности

		0	1
x1	Высота лба	Низкий	Широкий
x2	Профиль носа	Курносый	Горбатый
x3	Длина носа	Короткий	Длинный
x4	Разрез глаз	Узкие	Широкие
x5	Цвет глаз	Светлые	Темные
x6	Форма подбородка	Остроконечный	Квадратный
x7	Толщина губ	Тонкие	Толстые
x8	Цвет лица	Темный	Светлый
x9	Очертание лица	Овальное	Квадратное

Для конкретного лица из А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает , формируя векторную функцию принадлежности .

Кроме этого, используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «у этого человека темное лицо» или «у этого человека лицо не темное», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ_{«темный»} (данного человека).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, с помощью которых определяется интересующее нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были известны, например, , , то попарные сравнения можно представить матрицей отношений , где (операция деления).

Обычно эксперт самостоятельно формирует матрицу А. При этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали . В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида , где - наибольшее собственное значение матрицы А. Матрица А положительна по построению, и решение задачи существует и является положительным.