6.Классиф-ция методов мп.

В зав-ти от особ-ти целевой ф-ции Z(x) и ф-ции выдающих ограничений _i(x) задачи МП делятся на ряд типов:

- линейное программ-ние

Если Z(x) и все ф-ции _i(x), i=1,m линейны относ-но неизв-х X_j ,то это задача ЛП. Они широко прим-ся при разработке произв. программ, распределении ее по исполнителям, при опред-нии товарооборота.

- нелинейное программ-ние

Если хотя бы одна из ф-ций Z(x) , _i(x) нелинейны по X_j , то задача НЛП.

• задачи целочисленного программ-ния

Если на все или на некот. переменные X_j =0,1,2,…, то это задача ЦП.

- динамич. программ-ние

Методами ДП решаются задачи перспективного и текущего планирования, управления производством, поставками и запасами в усл-ях измен-гося спроса.

- задачи стохастического программ-ния

Если параметры, входящие в ф-цию цели или в ограничения задачи явл. случ-ми или если прих-ся принимать решения в усл-ях риска неполной инф-ции или недостоверной инф-ции, то говорят о стохастического программ-ния.

8.Метод искусственного базиса решения задачи лп (м-задача)

Решение задачи ЛП симплекс-методом начинается с нахождения какого-либо опорного плана. Такой план можно найти приведением системы ограничений к единому базису. Если этот способ применить нельзя, то используют метод искусственного базиса.

Пусть ЗЛП имеет вид:

_n

Z(x)=  c_j x_j max (1)

^j=1

_n

 a_ij= b_i, b_i0 i=1,m (2)

^j=1

x_j0, i=1,n (3)

И пусть система ограничений (2) не содержит m единичных векторов. Тогда введем в каждое из уравнений системы по одной неотрицательной переменной w_n+10, i=1,m

Переменные w_n+10, i=1,m называют искомыми. Кроме того из линейной формы (1) вычтем сумму исх. переменных, умноженную на сколь угодно большое число М, в результате получим так называемую М-задачу:

_{n n}

Z(x_i)=  c_j x_j-М  w_n+1 max (4)

^{j=1 j=1}

_n

 a_ij+ w_n+1= b_i, i=1,m (5)

^j=1

x_j 0, i=1,n (6)

w_n+10, i=1,m

В системе (5) переменные w_n+1 образуют базис, называемый искомым. При х₁=…=х_n=0 из сис­темы (5) получаем опорный план:

х⁰=(0,…,0;b_1,…,b_m)=М-задача

Получение оптимального плана исх. задачи основано на утверждениях:

1. если в опорном плане М-задачи все искомые переменные w_n+1=0, т.е. х^опт=(х₁^*, х₂^*,…, х_n^*,0..0), то опорный план исх. задачи имеет вид: х^опт=(х₁^*, х₂^*,…, х_n^*)

2. если в опорном плане М-задачи по крайней мере одна из искомых переменных положи­тельна при любом большом m, то исходная задача не имеет ни одного решения.

3. если М-задача не имеет решения, то исходная задача не разрешена.

7.Задача линейного программирования (постановка задачи, основные понятия и методы решения)

Линейное программирование – это раздел математического программирования, который изу­чает важную для практики задачу отыскания экстремума или функции при наличии ограничений в виде линейных равенств или неравенств.

По типу решаемых задач его методы подразделяются на универсальные и специальные.

Общая задача линейного программирования:

Найти х=(х_1,х₂…х₃), которое удовлетворяет следующим ограничениям:

а₁₁ х₁₊ а₁₂ х_2+…+ а_1n х_n  в₁

_…….

а_к1 х₁₊ а_к2 х_2+…+ а_кn х_n  в_к1

а_к1+1,1 х₁₊ а_к+1,2 х_2+…+ а_к+1,n х_n = в_к+1

а_m1 х₁₊ а_m2 х_2+…+ а_mn х_n = в_m

Условию неотрицательности x_j 0, j=1,n и для которых функция цели Z(x)=c₁x₁₊ c₂x_2+…+ c_nx_n стремится к max(min).

План Х, координаты которого удовлетворяют этой системе ограничений называется допусти­мым решением или допустимым планом задачи линейного программирования.

План Х, равный х_1,х₂…х₃ называется опорным, если в-ры A_j j=1,n:

, ,…,

Эти в-ры, составленные из коэффициентов при неизвестных x_j являются линейно независи­мыми.

Опорный план будет невырожденным, если он содержит m положительных компонентов, в противном случае – вырожденным.

Оптимальным решением или оптимальным планом х^опт задачи линейного программирования называется допустимый план доставляющий наибольшее(наименьшее) значение целевой функции.

Задача линейного программирования компактной записи имеет вид:

_n

 a_ij x_j bi, i=1,k

^j=1

_n

 a_ij x_j= bi, i=k+1,m

^j=1 x_j 0, i=1,n

Экономической формой записи ЗЛП называется:

_n

Z(x)=  c_j x_j max

^j=1

_n

 a_ij x_j= bi, i=1,m x_j 0, i=1,n

^j=1

При необходимости задачу минимизации можно заменить задачей максимизации и наоборот.

min Z(x)= -max(-Z(x))