1.4. Связь между формой струйки тока и величиной скорости сжимаемого газового потока, движущегося в условиях энергетической изолированности.

Рассмотрим энергоизолированное движение идеального сжимаемого газа в элементарной струйке тока при отсутствии массовых сил. При этом массовый расход сохраняется постоянным:

G = c F = const

Э

(24)

то условие можно записать дифференциальным уравнением.

Д ифференциал плотности можно заменить через дифференциал давления следующим образом:

Дифференциал давления связан с дифференциалом скорости уравнением (3)

dP = – c dc (23)

Поэтому уравнение (24) записывается так:

И мея в виду, что M = c/, можно последнее уравнение записать в виде:

Согласно уравнению (25) форма струйки тока связана со скоростью течения неоднозначно: все зависит от числа Маха. В дозвуковых потоках происходит торможение в расширяющихся каналах и ускорение в сужающихся. В сверхзвуковых потоках, наоборот, торможение происходит в сужающихся каналах, а ускорение в расширяющихся каналах. Из изложенного следует, что число Маха при этом достигает единицы при переходе от сужающейся части канала к расширяющейся, т.е. критическое сечение всегда совпадает с минимальным.

Исключительно важное значение числа Маха проявляется также и в том, что величина числа Маха характеризует количественно проявление свойства сжимаемости в движущемся потоке газа.

Введем понятие объемный расход.

Объемный расход - это объем жидкости, протекающей через поперечное сечение канала в единицу времени. Согласно определению:

G_V = cF (26)

В формуле (26) G_V - объемный расход.

Объемный расход связан с массовым через плотность жидкости:

G =  G_V (27)

В

(28)

несжимаемой жидкости объемный расход постоянен во всех сечениях струйки тока. Однако при движении сжимаемой жидкости при постоянстве массового расхода имеет место переменный объемный расход в связи с переменностью плотности. Согласно уравнению (27):

Таким образом, относительное изменение объемного расхода непосредственно характеризует количественное проявление сжимаемости.

П ричем:

В свою очередь: dp = – c dc

П

(29)

оэтому

С огласно уравнению (29) количественное проявление свойства сжимаемости движущегося потока непосредственно определяется числом Маха. Действительно, при M0, dG_V /G_V  0 при любых изменениях скорости потока, следовательно, поток несжимаем.

Наоборот при M >> 1, dG_V /G_V >> 0 при любых сколь угодно малых изменениях скорости, т. е. поток существенно сжимаем.

Поскольку газ ведет себя как физически разные среды в зависимости от скорости движения, то необходимо соглашение о границе сжимаемости. В качестве такой границы принято трехпроцентное изменение плотности по отношению к плотности торможения. Этой границе сжимаемости однозначно соответствует определенное число Маха.

Вообще, в движущемся газе любой статический параметр связан с полным через число Маха или приведенную скорость. Действительно, разделив в уравнении (11) обе части уравнения на k RT / (k – 1), получим:

(30)

Поскольку в данном случае процесс изменения параметров состояния является изоэнтропическим, то справедливы соотношения:

(31)

П

(32)

оэтому

(33)

З

(34)

(35)

(36)

аменяя в формулах (30) (32) (33) число Маха через приведенную скорость, можно получить связь статических параметров с полными через приведенную скорость.

Ф

(37)

ормулы (30) (32) – (35) являются газодинамическими функциями состояния. Формула (33) может быть использована для вычисления числа Маха, соответствующего границе сжимаемости.

К ак видно из уравнения (37) граница сжимаемости по числу Маха зависит от рода газа (показателя изоэнтропы k). Для k = 1,4 вычисления по уравнению (37) дают: М _гр = 0,225. Однако в инженерной практике принято несколько увеличивать число М _гр до 0,3. Таким образом, для двухатомных газов принято М _гр = 0,3.