7.5. Уравнение энергии.

Интегральное уравнение энергии является уравнением баланса энергии для жидкого объема. Q – L = E_t+t – E _t = E

В этом уравнении Q - внешнее тепло, подведенное к жидкому объему за время t (Рис. 20), L - Внешняя работа, совершаемая газом за время t, E _t - энергия жидкого объема в момент времени t, когда он занимает контрольный объем V_t,

E_t+t - энергия жидкого объема в момент времени t + t, когда он занимает контрольный объем V_t+t.

Под полной энергией E следует понимать те составляющие энергии, которые могут изменяться при движении жидкости. Для несжимаемой жидкости в состав полной энергии входят следующие составляющие:

gz - потенциальная энергия в гравитационном поле,

P/ - потенциальная энергия сил давления,

C²/2 - кинетическая энергия.

П ри движении сжимаемой жидкости в состав полной энергии следует включить внутреннюю энергию газа U, которая изменяется в процессе движения, так как изменение плотности означает совершение работы сжатия или расширения. Поэтому, в общем случае полная энергия выделенного объема - это величина интеграла по объему

П ри неограниченном уменьшении рассматриваемого отрезка времени: Q  dQ, L  dL, а уравнение энергии имеет вид:

Учитывая, что часть объема V_t+t совпадает с частью контрольного объема V_t, значения энергии целесообразно представить в виде:

E_t = E_V0 + E_V1 ; E_t+t = E_V0t + E_V2

Поэтому:

П ервый предел характеризует изменение во времени энергии неподвижного объема V_o, который при t  0 стремится к контрольному объему V_t. Поэтому

В торой предел выражает изменение энергии в объеме в связи с перемещением жидкости в пространстве. Поскольку при неограниченном уменьшении отрезка времени перемещающиеся объемы V₁ и V₂ стремятся к нулю, то значение этого предела определяется разностью энергий притекающей в объем жидкости и жидкости, вытекающей из него.

Расход жидкости через элемент поверхности объема dS составляет величину

dG = C_ndS, где C_n - проекция скорости на нормаль к поверхности.

Соответственно:

Окончательно, интегральное уравнение энергии имеет вид:

П ри установившемся движении сжимаемой вязкой жидкости в элементарной струйке тока

Поэтому:

d Q/G dt – это удельное подводимое тепло q,

dL / G dt – удельная техническая работа l.

(149)

Интегральное уравнение энергии (149) можно представить в дифференциальной форме

В свою очередь внешний удельный теплоподвод dq можно выразить через общий теплоподвод, включающий в себя тепло, эквивалентное работе против сил трения dq_тр dq = dq_ – dq_тр = dq_ – dl_тр

При этом общее тепло dq_ подводимое к газу, определяется согласно первому закону термодинамики через изменение внутренней энергии, что позволяет исключить из уравнения энергии внутреннюю энергию.

dq_ = dU + Pd(1/)

В итоге

У

(150)

равнение (150) является обобщенным уравнением Бернулли в дифференциальной форме.

О

(151)

бобщенное уравнение Бернулли в интегральной форме имеет вид (для элементарной струйки тока в установившемся течении).

Интегральное уравнение энергии в форме обобщенного уравнения Бернулли (151) более удобно для использования, т.к. не содержит такой сложно определяемой величины, как внутренняя энергия, зато включает в явном виде энергию эквивалентную гидравлическому сопротивлению l_тр. При этом внешний теплообмен в неявном виде присутствует в интеграле dP/.

В несжимаемой жидкости

т.е. интеграл работы сил давления не зависит от подвода или отвода тепла. В случае сжимаемой жидкости наличие теплообмена проявляется в величине показателя политропы.