- •Історичні етапи розвитку логічного знання, логіка Давньої Греції.
- •3.Історичні етапи розвитку логічного знання: Логіка Давньої Індії
- •4.Логічні сталі. Логічні вирази. Логічні операції. Таблиця істинності. Логічні операції:
- •5. Закони алгебри логіки. Спрощення логічних функцій.
- •6.Принцип двоїстості булевих функцій.
- •7.Мінімізація булевих функцій.
- •Методи доведення в логіці Буля
- •9.Висловлення. Операція над висловленнями.
- •10. Формули алгебри висловлень. Таблиці істинності формул.
- •11. Тавтології.
- •Перевірити , що формула є тавтологією , можна за допомогою таблиці істинності, але і існують інші методи:
- •12. Рівносильність формул алгебри висловлень.
- •13. Алгебра висловлень. Нормальні форми.
- •14. Логічне слідування на базі алгебри висловлень.
- •15. Методи перевірки тотожної істинності формул числення висловлювань.
- •16. Аксіоматичний метод доведення в логіці висловлень.
- •17. Конструктивний метод доведення в логіці висловлень.
- •18. Метод резолюції доведення в логіці висловлень.
- •19. Вивідність з гіпотези . Теорема дедукції.
- •20 . Зв'язок між формулами висловлень і формулами числення висловлень. Несуперечність, повнота і розв’язність числення висловлень.
- •21. Застосування алгебри висловлень в теорії комбінаційних схем.
- •22. Синтез логічних схем.
- •23. Логіка предикатів.
- •24. Предикати, логічні операції над предикатами.
- •25. Квантори . Кванторні операції над предикатами.
- •26. Формули логіки предикатів.
- •Формули, які спираються на квантори:
- •27. Інтерпитація формул логіки предикатів.
- •28. Рівносильність формул логіки предикатів.
- •29. Нормальні форми в логіці предикатів. Визначення
- •Правило введення квантора існування
- •30. Логічне слідування в логіці предикатів.
- •31. Відношення логічного слідування на множині предикатів.
- •32. Метод резолюції і його застосування в логіці предикатів.
- •33. Подання знань за допомогою логіки предикатів.
- •34. Моделі подання знань і логіка предикатів.
- •35. Поняття про міркування і умовиводи.
- •36. Поняття про аксіоматичний метод побудови теорії
- •40. Формальна арифметика. Теорема Геделя про неповноту
- •41. Класифікація логік.
- •42. Поняття про некласичні логіки
- •43. Алгоритми та їх властивості. Алгоритм
- •44. Обчислювальні функції. Частково рекурсивні функції.
- •45. Гіпотези Черча та Тюрінга
- •46. Машина Тьюрінга.
- •47. Нормальні алгоритми Маркова. Принцип нормалізації.
- •48. Алгоритмічно розв’язанні і нерозв’язані проблеми.
35. Поняття про міркування і умовиводи.
Логіку висловлень можна використовувати для ля перевірки правильності міркувань, які проводяться природною мовою. Якщо задане міркування то насамперед треба перекласти його на символічну тобто абстрагуючись від конкретного змісту.
Міркування правильне тоді і тільки тоді коли між посилкою і висновком цього міркування має місце відношення логічного слідування.
Умовиводи - це виконання і поєднання декількох суджень(які називаються засновами) , з яких необхідно витікає нове судження (висновок)
36. Поняття про аксіоматичний метод побудови теорії
Відміною математики від інших наук є логічне доведення істинності тверджень на основі інших, раніше доведених . Оскільки різних тверджень скінченна кількість, то всі твердження не можуть бути доведеними, а тому деякі твердження приймаються в математиці істинними без доведення.
Твердження, які приймаються в межах даної теорії істинними без доведення, називаються аксіомами.
Будь-яка теорія є сукупністю понять і тверджень про них.
Аксіоматичний метод побудови теорії полягає в тому, що :
виділяються не означувані ( первісні ) поняття теорії, всі інші поняття цієї теорії визначаються через раніше означені, зрештою через первісні;
виділяються деякі вихідні твердження – аксіоми, які приймаються істинними в теорії без доведення, всі інші твердження цієї теорії, які називають її теоремами, доводяться на основі раніше доведених, зрештою – на основі аксіом. Аксіоми теорії є неявними означеннями її первісних понять.
Аксіоматичний метод, що зародився в працях давньогрецьких філософів і математиків, пройшов довгий шлях розвитку , в процесі якого зазнали змін такі поняття , як «аксіома», «теорема», «доведення». Зокрема, поняття «аксіома» розглядалося спочатку як твердження, що не потребує доведення , і лише з побудовою М.І. Лобачевським ( 1792 – 1856 ) неевклідової геометрії , в основу якої покладена система система аксіом Евкліда, аксіоми стали розглядати як твердження , які приймаються істинними без доведення в межах даної теорії.
Аксіоматична побудова теорії можлива лише тоді, коли відомо багато понять і тверджень про них у цій теорії. Одна і та ж теорія може бути побудована на основі різних первісних понять і систем аксіом.
Система аксіом вважається несуперечливою, якщо серед її логічних наслідків немає двох , які є запереченням один одного.
Вимога незалежності систем аксіом полягає в тому, що жодна з аксіом не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.
40. Формальна арифметика. Теорема Геделя про неповноту
Формальна арифметика – розділ математичної логіки, що займається аналізом аксіоматичної теорії арифметики.
Теорема Геделя: Якщо формальна система арифметики несуперечлива, то в ній знайдеться формально нерозв’язне , тобто така замкнута формула А, що ні А ні Ā не є теоремами цієї системи.
В якості А можна взяти формулу, яка природним чином висловлює несуперечливість формальної арифметики.