2.2. Метод последовательных приближений

Неизохронность колебаний математического маятника связана с нелинейностью описывающего их уравнения (2.7). Общих методов решения нелинейных ДУ не существует, но есть несколько приближенных методов. Дальше мы рассмотрим один из таких методов  метод последовательных приближений.

Сначала проделаем на примере маятника, а потом приведём к общему виду. Разложим нелинейное слагаемое sin(x) в уравнении (2.7) в ряд Тейлора, ограничиваясь вторым слагаемым

,

(2.10)

здесь  = 1/6.

Зависимость периода колебаний от амплитуды (неизохронность колебаний) определяется коэффициентом . Если  = 0 колебания чисто изохронные и период T = 2/₀.

Дальше воспользуемся теоремой из теории ДУ, что решение ДУ непрерывно зависит от параметра. Так как есть период, зависящий от ₀ то можно сказать, что ₀  это параметр системы, который совпадает с частотой линейных колебаний. Введём параметр   частота действующих (свободных) колебаний  = 2/T(). Мы знаем, что при  = 0, она совпадает с ₀, и непрерывно зависит от , т. е. мы можем представить её в виде ряда по степеням . Исторически сложилось (да и проще) раскладывать ²:

(2.11)

Считая нелинейность малой, мы ограничиваемся только первым слагаемым, содержащим . Подставим (2.11) в (2.10), тогда, сохраняя только первые степени по , получим

.

(2.12)

Решение x(t) уравнения (2.12) тоже непрерывно зависит от параметра , причём при  = 0

.

В силу непрерывности решения по , можно записать, ограничиваясь только первой степенью , что при   0,

.

Подставим это решение в (2.12), пренебрегая степенями  со второй включительно

,

и, учитывая уравнение нулевого приближения для x₀

,

получим окончательное уравнение первого приближения

.

В нашем случае, выбирая начальные условия в виде t = 0, x = a, , находим решение уравнения нулевого приближения

.

Уравнение первого приближения соответственно будет

.

(2.13)

У нас получилось линейное уравнение, в правой части которого стоят гармонические силы. Получилось, что на систему с собственной частотой  действуют два гармонических процесса с частотами  и 3. Так как потерь нет, то колебания совершаются с бесконечной амплитудой (на частоте  резонанс), поэтому, чтобы такого не было, необходимо положить

,

тогда уравнение первого приближения примет вид:

.

(2.14)

Из предыдущего соотношения находим, что . Тогда, подставив его в (2.11), получим

,

следовательно

.

(2.15)

Решение уравнения первого приближения будет иметь вид:

,

где С₁ и С₂  произвольные постоянные. Тогда полное решение (2.10) в первом приближении запишется следующим образом:

.

Значения произвольных постоянных можно найти, требуя от этого решения, чтобы оно удовлетворяло тем же начальным условиям, т. е. , тогда окончательно с учётом формулы (2.15)

.

(2.16)

Из найденного соотношения видно, что колебания не изохронные и в них присутствуют высшие гармоники. Для математического маятника частота свободных колебаний убывает с ростом их амплитуды.