9.2. Собственные колебания распределённых систем конечной длины

При исследовании колебательных процессов в распределённых системах конечной длины обычно используется метод Бернулли, т. е. решение разлагается по собственным функциям краевой задачи. Вид собственных функций существенно зависит от граничных условий, связывающих ток и напряжение или силу и смещение на границах системы.

Остановимся лишь на простейших случаях граничных условий, которые, однако, часто встречаются на практике.

Короткозамкнутому или разомкнутому концу соответствуют граничные условия вида

,  ,

(9.10)

где y  ток (для разомкнутой линии) или напряжение (для замкнутой линии).

Более общий случай граничных условий осуществляется в электрической линии, нагруженной на конце ёмкостью C₀. Для напряжения на этой ёмкости и заряда справедливо следующее

.

Подставляя это соотношение в телеграфное уравнение (9.1), для линии без потерь получим:

.

Для конденсатора, включенного вначале линии в сечении x = 0, получаем

.

Если на конце линии включена индуктивность L₀, то граничные условия запишутся так:

,  .

Объединяя рассмотренные выше типы граничных условий, получим общий вид граничных условий такого рода

,  .

(9.11)

Волновое уравнение (9.2) с граничными условиями вида (9.10) или (9.11) удобно решать методом разделения переменных (метод Бернулли). Положим y(x, t) = (x)T(t), тогда общее решение имеет вид

.

(9.12)

Постоянные A_s и B_s определяются из начальных условий. Из решения (9.12) следует, что распределённые колебательные системы конечной длины имеют бесконечное множество собственных частот _s, каждой из которых соответствует определённая форма колебаний _s.

Для двухпроводной линии, подставляя разложение (9.12) в волновое уравнение (9.2), получим:

.

(9.13)

Общее решение уравнения (9.13) имеет вид

.

Если линия короткозамкнута на конце, то граничные условия вида (9.10) дают B = 0, _sl/v = s, т. е.

.

(9.14)

_s = sv/l, s = 1, 2, …  набор эквидистантных собственных частот, _s(x)  собственные функции. Легко показать, что собственные функции, отвечающие различным собственным частотам, ортогональны:

, s  q.

(9.15)

Отметим, что ортогональность собственных (нормальных) колебаний  общее свойство распределенных систем и систем с многими степенями свободы.

Если система с распределёнными параметрами неоднородна, например, в середину длинной линии включен конденсатор, то эквидистантность собствен­ных частот нарушается, и собственные функции уже не синусоидальные, но их ортогональность (9.15) сохраняется. Пример такой системы  лазер. Активная среда, внесённая в резонатор Фабри-Перо (систему с распределёнными пара­метрами), нарушает эквидистантность собственных частот резонатора. Поэтому генерируемые моды становятся не синхронизируемыми.

9.3. Вынужденные колебания в распределённых системах

По аналогии с вынужденными колебаниями в системах с многими степе­нями свободы удобно раскладывать и вынуждающую силу, и вынужденные колебания по собственным функциям системы. Если частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот системы, то происходит резонансное увеличение амплитуды колебаний.

Рассмотрим разомкнутую на концах двух­проводную линию с потерями, в которой действует распределённая внешняя сила. Подставляя в первое уравнение системы (9.9) , , получим

,

(9.16)

где L, C, R  постоянные погонные параметры линии.

Пусть линия разомкнута на обоих концах, т. е. q(0, t) = q(l, t) = 0. Разложим внешнюю силу в ряд на интервале 0  x  l по собственным функциям вида (9.14) разомкнутой на концах линии

,

(9.17)

а коэффициенты разложения найдём, используя условие (9.15) ортогональности собственных функций:

.

(9.18)

Естественно искать решение уравнения (9.16) также в виде ряда по собственным функциям линии с разомкнутыми концами

.

(9.19)

Подставим (9.17) и (9.19) в исходное уравнение (9.16):

, n = 1, 2, …

(9.20)

Получилась бесконечная система обыкновенных ДУ относительно Q_n(t). Каждое из них имеет обычный вид колебательного уравнения для системы с одной степенью свободы, на которую действует внешняя сила U_n(t). Уравнения независимы, и поэтому Q_n(t) можно рассматривать как нормальные координаты системы. Число таких координат бесконечно. Если отсутствует какая-либо компонента внешней силы U_n(t), то соответствующая координата Q_n(t) совершает только свободное затухающее колебание.

Решение уравнений (9.20) может быть записано через интеграл Дюамеля:

.

(9.21)

Здесь обозначено: , , .

Для гармонического синхронного и синфазного внешнего воздействия U_n(t) = U_n0exp(j₀t) в установившемся режиме при t >> 1/ получаем

.

Суммируя по всем n, получим общее решение уравнения (9.20) в виде

.

(9.22)

Если частота внешнего воздействия ₀ совпадает с одной из собственных частот системы _n, то наблюдается резонансное увеличение амплитуды.

В ча­стном случае, если гармоническое внешнее воздействие приложено в одной точке x = b, получаем:

,

где (x)  дельта-функция. Определим коэффициенты разложения функции u₀(x, t)

.

Общее решение в этом случае будет иметь вид

.

(9.23)

Нетрудно видеть, что если b = l/n, т. е. внешняя сила приложена к узлу, то q(x, t). Это явление аналогично ортогональности вынуждающей силы на од­ной из собственных частот системы и собственного колебания на этой частоте для системы с многими степенями свободы.