8.3. Вынужденные колебания в системе с n степенями свободы

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции колебаний. Поэтому задача о вынужденных колебаниях в системе под действием любой периодической силы сводится к нахождению вынужденных движений системы в результате действия гармонической силы частоты . Если рассматриваемая система консервативна, то уравнение её колебаний в матричной форме принимает вид:

.

(8.19)

Вынужденные колебания системы должны быть гармоникой той же частоты

,

(8.20)

где  амплитудный вектор вынужденных колебаний. Подставляя решение (8.20) в (8.19), получим уравнение для амплитудного вектора

.

(8.21)

Таким образом, для отыскания выражения для вынужденного колебания в матричной форме необходимо обратить матрицу . Отметим, что в силу условия (8.5) в резонансе, т. е. при  = _s, определитель этой матрицы равен нулю, следовательно, обратная матрица обращается в бесконечность.

Обращение матриц больших размеров  сложная задача, поэтому чаще используют другой метод  разлагают искомое решение по собственным колебаниям системы. Для этого амплитудный вектор разлагают по -векторам коэффициентов распределения амплитуды собственных колебаний системы:

.

(8.22)

Теперь задача сводится к отысканию неизвестных коэффициентов B_s. Внешнюю силу разложим следующим образом:

,

(8.23)

где f_s  коэффициенты разложения. Коэффициенты f_s можно найти, используя условие ортогональности (8.12). Умножая (8.23) слева скалярно на , запишем коэффициенты f_s в виде

.

(8.24)

Подставим теперь выражения (8.22) и (8.23) в уравнение (8.21), тогда

.

(8.25)

Умножим уравнение (8.25) слева на , используя условие ортогональности нормальных колебаний вида (8.12), получим выражение для коэффициентов B_s:

.

Отсюда, с помощью формулы (8.22), находим амплитуды вынужденных колебаний:

.

(8.26)

Из формулы (8.26) видно, что при   _s, амплитуда вынужденных колебаний всех координат стремится к бесконечности, т. е. происходит резонансное возрастание амплитуды. Резонанса на частоте _s не будет, если вектор внешней силы ортогонален s-му нормальному колебанию, когда в соответствии с соотношением (8.24) получается f_s = 0.

При наличии затухания расчёт колебаний для систем с n степенями свободы становится ещё более громоздким. Для диссипативных систем с затуханием типа вязкого трения можно вве­сти матрицу рассеяния энергии и решать матричное уравнение

.

(8.27)

Собственные колебания, соответствующие , линейной диссипативной системы (8.27) можно искать в виде

.

(8.28)

Подставляя (8.28) в (8.27), получим уравнение степени 2n для определения 

.

(8.29)

Так как уравнение (8.29) имеет действительные коэффициенты, то все его комплексные корни будут попарно сопряжёнными, т. е.

,  ,

где _s и _s  вещественные числа. Для диссипативной системы, не содержащей внутренних источников энергии, все _s < 0. Общий вид свободных колебаний:

.

(8.30)

Для вынужденных колебаний по-прежнему разлагаем силу по векторам вида (8.23), а амплитуду вынужденных колебаний  по векторам нормальных колебаний вида (8.22). Тогда

.

(8.31)

Таким образом, при совпадении частоты внешней силы с одной из собственных частот системы наблюдается резонанс. Однако амплитуда вынужденных колебаний при резонансе остается ограниченной, как и при резонансе в диссипативной системе с одной степенью свободы.