1.4. Неавтономные системы, параметрический генератор

В пункте 1.1. вводилось определение неавтономных систем, и отмечались способы воздействия на неавтономную систему. Рассмотрим на конкретных примерах силовое и параметрическое воздействия. Начнём с силового воздействия: для этого вернёмся к генератору на туннельном диоде с дополнительным источником напряжения (рис. 16), который и играет роль внешнего воздействия.

Уравнение, описывающее колебательные процессы в этом генераторе, от (1.13) будет отличаться тем, что добавится внешнее воздействие:

.		(1.24)
Рис. 16. Генератор на туннельном диоде.	Рис. 17. Колебательный контур.

Перейдём к параметрическому воздействию и рассмотрим контур, изображённый на рис. 17. При определённой частоте внешнего воздействия (при резонансе) возможна потеря устойчивости и возникновение колебаний с частотой кратной частоте внешнего воздействия. Опишем эту систему. В качестве обобщённых координат возьмём заряд. Для простоты также пусть Е = 0, тогда, так как u = q/C(t), уравнение колебательного контура запишется в виде:

.

В частном случае (если в качестве переменной ёмкости  варикап), т. е. справедлива следующая зависимость

,

символическое уравнение системы принимает вид:

.

(1.25)

Если t) меняется по гармоническому закону, то получится уравнение Матье, а при произвольном изменении  уравнение Хилла.

1.5. Уравнение Лагранжа для колебательных систем Вопрос 3

Уравнение движения Лагранжа удобно тем, что уравнение движения записывается в ковариантной форме, т. е. структура уравнения не меняется при переходе к другим координатам.

Любая механическая система описывается уравнением Ньютона:

,

(1.26)

и это самая общая форма записи (форма Коши). Известно, что, если заданы начальные условия

и ,

то решение существует и единственно.

В общем случае на уравнение накладываются связи, уменьшая количество независимых координат:

, где .

(1.27)

Если у нас есть k связей, то только n = m  k координат являются обобщёнными. Выбираем обобщённые координаты q₁, …, q_n так, чтобы их связь с первичными была точечной:

, где .

(1.28)

Допустим, что силы, действующие на систему, являются потенциальными, т. е. существует функция такая, что для каждой силы выполняется равенство

, где .

В этом случае для описания движения в потенциальном поле можно воспользоваться формализмом Лагранжа:

1. Выбираем обобщённые координаты q₁, …, q_n.

2. С помощью уравнения преобразования координат (1.28) записываем выражение для энергии через эти координаты:

.

3. С учётом преобразования обобщённых скоростей

(1.29)

строим выражение для кинетической энергии системы .

4. Составляем лагранжиан системы .

5. Записываем уравнение движения системы в виде:

, где .

(1.30)

Из (1.30) можно непосредственно найти первый интеграл движения:

.

(1.31)

Коэффициенты C_i можно найти из начальных условий.

Лагранжев формализм работает только в потенциальном поле, но, если в системе действуют диссипативные силы Q_i (трение, потери), то в общем случае уравнение Лагранжа выглядит так:

, где .

(1.32)

Простейший случай, когда диссипативные силы являются линейной функцией обобщённых скоростей:

.

Для линейной функции можно построить функцию Рэлея, тогда диссипативные силы  это частные производные по обобщённым координатам функции Рэлея:



(1.33)

В этом случае уравнение Лагранжа примет ещё более простой вид:

, где ,

(1.34)

т. е. для полного описания системы с диссипацией нужно задать две функции: L и .

Если точечное преобразование (1.28) не содержит в явном виде времени, то

.

(1.35)

Таким образом, энергия системы убывает со скоростью, равной удвоенной функции Рэлея.