Тема 8. Колебания в линейных системах со многими степенями свободы 74
8.1. Собственные колебания в консервативных системах 74
Решение матричного уравнения (8.3) естественно искать в виде экспоненты 74
Поэтому, подставляя эти соотношения в (8.6), получим s-е собственное колебание в виде 75
8.2. Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот 76
8.3. Вынужденные колебания в системе с n степенями свободы 77
8.4. Колебания в однородных цепочках 79
8.5. Параметрические системы, соотношения Менли-Роу 83
Тема 9. Колебания в распределённых системах. 86
9.1. Телеграфные уравнения, волновое уравнение 86
9.2. Собственные колебания распределённых систем конечной длины 88
9.3. Вынужденные колебания в распределённых системах 89
9.4. Лазер как автогенератор 90
Список рекомендуемой литературы 93
Введение
Под колебаниями понимаются повторяющиеся ограниченные движения относительно некоего среднего состояния, которое, в частном случае, может быть положением равновесия. Математическим выражением колебательного движения является периодическая функция, описывающая данный процесс. Общий вид периодической функции:
Это соотношение справедливо для любого момента времени t, где Т – период функции; 1/T = – частота; используется также круговая частота = 2. Особое значение имеет простейший вид колебательного процесса гармоническое колебание:
;
здесь А амплитуда колебания, t + мгновенная фаза.
Строго периодичный процесс на практике не встречается, но мы можем иметь дело с почти периодичным процессом, удовлетворяющим следующему условию:
,
причём оно выполняется для любого наперёд заданного малого > 0, а T() почти период. Примером такого процесса может служить процесс затухающих колебаний
,
при << Здесь T() = 2/почти период
Важнейшим свойством колебаний является их изоморфизм, т.е. разные физические процессы описываются одними математическими уравнениями. Для описания колебаний используют различные координаты, однако, физические (первичные) не всегда удобны. Тогда выбирают обобщённые координаты, как некоторую комбинацию первичных координат, такие, что по известному закону преобразования координат решение переводится в первичные координаты.
Тема 1. Колебательные системы
Для изучения реальных колебательных систем необходимо построить модель системы, в которой отражается только ограниченное число основных черт, существенных для изучаемых колебательных процессов.
1.1. Классификация колебательных систем
Заменяя реальные динамические системы их соответственно выбранными моделями, мы можем провести последовательную классификацию систем и протекающих в них колебательных процессов по различным признакам.
По свойствам параметров системы, т. е. по отношению к признаку суперпозиции, выделяют системы с параметрами, не зависящими от её состояния (линейные системы), и с параметрами, зависящими от состояния системы (нелинейные системы). Для линейных систем изменение величины внешнего воздействия вызывает количественное изменение отклика пропорциональное внешнему воздействию. Результат совокупного воздействия нескольких сил равен сумме реакций воздействия этих сил по отдельности. Для нелинейных систем изменение величины внешнего воздействия может привести к качественному изменению реакции системы.
По числу степеней свободы системы бывают дискретные и сплошные. Дискретные системы это системы, колебательный процесс в которых описывается обыкновенными ДУ; в сплошных системах процесс описывается ДУ в частных производных. Параметром дискретных систем является порядок ДУ (или, что то же самое, число степеней свободы); в сплошных число измерений.
По энергетическим признакам системы делятся на консервативные (энергия сохраняется) и неконсервативные (энергия изменяется). В свою очередь неконсервативные системы делятся на пассивные (которые не содержат источников внутренней энергии) и активные (включают источники внутренней энергии).
По условиям действия системы разделяют на автономные (не испытывают внешнего воздействия) и неавтономные (находятся под внешним воздействием). Неавтономные также делятся по способу воздействия. Если непосредственно внешняя сила воздействует на обобщённые координаты, то это силовое воздействие; если внешним воздействием меняется параметр колебательной системы, то такое воздействие называется параметрическим; если меняются и координаты, и параметр, то воздействие смешанное или комбинационное. Нужно отметить, что внешнее воздействие может быть медленным (по сравнению с периодом), малым (по сравнению с амплитудой), случайным, периодическим.