7.2. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы
Рассмотрим вынужденные колебания в системе из двух индуктивно связанных контуров, в один из которых включен источник внешнего переменного напряжения u0(t) = U0cos(0t) (рис. 62).
Запишем уравнения колебаний для этих контуров, пренебрегая вначале затуханием (R1 = R2 = 0):
Уравнения колебаний токов принимают в этом случае вид |
Рис. 62. Схема связанных контуров при внешнем воздействии. |
|
|
(7.14) |
|
где обозначено
, 
, 
, 
.
Система линейная, следовательно, в силу принципа суперпозиции, колебания в системе будут состоять из собственных колебаний с частотами 1 и 2 и вынужденных колебаний с частотой внешней силы 0. Собственные колебания ищем в виде
, 
.
Подставив в (7.14), получим следующую систему уравнений относительно амплитуд A и B:
, 
.
Известно, что система имеет нетривиальное решение, если её детерминант равен нулю:
.
Решив это уравнение, можно найти выражение для собственных частот:
.
Нетрудно найти выражение для коэффициентов распределения амплитуд:
.
Вынужденные колебания происходят на частоте внешней силы. Так как нет диссипации, то сдвиг фаз будет равен нулю, следовательно, решение уравнений (7.14) для вынужденных колебаний будем искать в виде
, 
.
Подставляя в исходное уравнение (7.14), получим
|
(7.15) |
, 
.Из второго уравнения найдём коэффициент распределения амплитуд вынужденных колебаний
.
Видно, что 0(0 = 1) = 1, а 0(0 = 2) = 2. Таким образом, отношение амплитуд вынужденных колебаний в контурах совпадает с отношением амплитуд при собственных колебаниях (на соответствующей частоте). Решая систему (7.15), получим выражения для амплитуд:
|
(7.16) |
|
Рис. 63. Зависимости I1 и I2 для консервативной системы с двумя степенями свободы от частоты внешней силы. |
На рис. 63 приведены зависимости I1 и I2 от частоты внешней силы 0. В точках 0 = 1 и 0 = 2 амплитуды I1 и I2 обращаются в бесконечность. Таким образом, в системе с двумя степенями свободы резонансное увеличение амплитуды колебаний происходит на обеих собственных частотах системы. При 0 < 2 токи совершают противофазные колебания, а при 0 > 2 синфазные. В точке 0 = 2 амплитуда I1 обращается в нуль, т. е. происходит гашение колебаний в первом контуре. Это явление легко объяснить тем, что в отсутствие потерь на частоте 2 обратная реакция второго контура на первый точно равна внешнему воздействию. Во втором контуре колебания не обращаются в нуль ни при каком конечном 0. Частота успокоения в общем случае зависит от того, в какую из ветвей сложного контура включена внешняя ЭДС. Она всегда равна парциальной частоте того контура, |
|
, 
.
который получается при разрыве цепи в точке включения ЭДС.
Выясним физическую причину отсутствия колебания в первом контуре при 0 = 2. Для этого рассчитаем ЭДС, наводимую в первом контуре на этой частоте колебаниями второго контура (воспользуемся уравнением (7.16), положив 0 = 2):
.
Как видно, u в точности компенсирует внешнюю ЭДС, поэтому вынужденные колебания в первом контуре на частоте 2 не происходят.
Задачу о вынужденных колебаниях в диссипативной системе удобно решать с помощью МКА. Рассматривая систему связанных контуров (рис. 62) относительно входных зажимов как линейный двухполюсник с полным сопротивлением Z, получим из уравнений (7.14)
, 
.
Решая эту систему уравнений, находим полное сопротивление
|
(7.17) |
.Условие резонанса в этом контуре сводится к равенству нулю реактивного сопротивления, т. е. ImZ(0) = 0. Введём относительные расстройки контуров
, 
и парциальные декременты затухания
, 
.
Тогда условие резонанса будет иметь вид:
.
В случае одинаковых парциальных частот контуров (1 = 2 = ) относительные расстройки равны (1 = 2 = ), и мы получаем очень простое условие резонанса:
.
Из этого уравнения находим три значения :
, 
.
Следовательно, система двух связанных контуров имеет три резонансные частоты
, 
, 
.
Рис. 64. Резонансные кривые двух связанных контуров с равными парциальными частотами при коэффициенте связи меньшем критического (1), равным критическому (2) и большем критического (3). |
Если затухание
во втором контуре велико ( |
),
то остаётся одна резонансная частота
01 = .
Система с двумя степенями свободы
ведёт себя в этом случае как система
с одной степенью свободы. Если затухание
мало (при
),
то резонанс возможен на всех трёх
частотах. Коэффициент связи, при
котором выполняется условие
называется критическим.
Амплитудно-частотная характеристика
(АЧХ) двух связанных контуров при
различных коэффициентах связи показана
на рис. 64. При критической
связи АЧХ связанных контуров имеет
плоскую вершину и более крутые, чем
одиночный контур, склоны.Рассмотрим теперь особенности вынужденных колебаний в двухконтурной системе без потерь при одновременном действии внешних источников в обоих контурах (u01 и u02). Уравнения колебаний для токов в таких контурах имеют вид:
, 
.
Мы считаем, что внешние источники действуют на одной и той же частоте и синфазны, т. е. u01 = U01cos(0t), u02 = U02cos(0t). Решая методом комплексных амплитуд, находим
|
(7.18) |
,
.Из (7.18) вытекают два интересных следствия. Это, во-первых, принцип взаимности, который гласит: амплитуда вынужденных колебаний во втором контуре при включении некоторого источника в первый равна амплитуде колебаний в первом контуре, если тот же источник включить во второй контур, т. е. I2(U02 = 0, U01 = U) = I1(U01 = 0, U02 = U). Принцип взаимности является следствием линейности системы. Этот принцип можно доказать, хотя и более громоздко, и для контуров с потерями. Важное для радиофизики следствие принципа взаимности диаграммы направленности антенн на излучение и на приём одинаковы.
Вторая особенность вынужденных колебаний в системе с двумя степенями свободы заключается в том, что при определённом соотношении между амплитудами внешних источников в системе может отсутствовать резонанс, даже если частота внешнего источника совпадает с одной из нормальных (собственных) частот. Это происходит, когда и числитель и знаменатель в соотношениях (7.18) обращаются в нуль. Например, для частоты 0 = 1 соотношение между амплитудами имеет вид
|
(7.19) |
.Условие (7.19) называется условием ортогональности внешней силы собственному колебанию с частотой 1.