4.3. Генерация высших гармоник Вопрос 11

Явление, когда появляются высшие гармоники при гармоническом воздействии на нелинейную систему, называется генерацией гармоник.

Рассмотрим, например, колебания в нелинейной консервативной системе с конденсатором с сегнетоэлектриком при достаточно большой амплитуде гармонического воздействия, причём собственная частота малых свободных колебаний системы близка к утроенной частоте воздействия. Для конденсатора с сегнетоэлектриком

.

Уравнение (4.3) будет в этом случае иметь вид:

, где .

(4.13)

При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Можно ожидать появления высших гармоник. Мы допустили, что есть третья гармоника, т. е. если ₁  частота внешнего воздействия, то ₁  ₀/3. В этом случае можно ограничиться только первой и третьей гармониками и искать вынужденные колебания в виде

,

тогда получается

.

Оставляя в разложении f(q) в ряд Фурье только члены с cos и cos3 и приближенно положив  f(q) = ₁cos + ₃cos3, получим систему двух уравнений

;  .

(4.14)

Для выбранного вида нелинейности имеем

(4.15)

Для свободных колебаний системы с нелинейностью (P = 0) из (4.14) получим уравнения

;  .

(4.16)

Здесь   основная частота свободных колебаний нелинейной системы, заменившая частоту ₁, которая задавалась внешним воздействием. Из последней системы можно найти соотношение между амплитудами гармоник

.

Нетрудно убедиться, что из системы (4.16) можно получить частоту свободных колебаний:

.

Как мы видим,  отличается от ₀ лишь на величину порядка .

Иначе обстоит дело при наличии воздействия (P  0). Тогда частота возбуждаемого колебания будет задаваться внешним воздействием. В рассматриваемом случае частота ₀ близка к 3₁. В результате соотношение между амплитудами основного колебания и его третьей гармоники должно быть совсем иным.

Для определения a₁ и a₃ имеем систему (4.14). Заменяя из (4.16) в первом уравнении ₁ на ²a₁, получаем

,

откуда выражение для амплитуды основной гармоники

.

Здесь мы учли, что   ₀ (с точностью до величины порядка ), а ₀  3₁.

Рис. 31. Амплитуда третьей гармоники.

Для определения a3 воспользуемся вторым соотношением из (4.14), тогда, подставив его во второе уравнение системы (4.15), получим . Введём относительную расстройку : , тогда получим уравнение третьей степени относительно a3:

.

Так как   0, то на  можно сократить

.

(4.17)

Это решение описывает установившийся процесс. Таким образом, нелинейность зависит от отношения /. Зависимость амплитуды третьей гармоники от этого отношения представлена на рис. 31.

4.4. Метод мма для колебательных систем с малыми нелинейностями и потерями при гармоническом силовом воздействии

Общая запись уравнений для неавтономной системы первого порядка при силовом воздействии:

.

(4.18)

В предельном случае если   0, тогда получаем неоднородное ДУ вида

,

решение которого будет x₀(t) = acos(₁t), где амплитуда колебаний

.

Возвращаясь к (4.18) и считая нелинейность слабой, будем искать решение в виде

.

(4.19)

Подставляя это решение в исходное уравнение, можно записать

.

Видно, что это уравнение вида (3.8). Для возможности применения метода ММА необходимо потребовать, чтобы внешняя сила была мала по амплитуде и имела бы тот же порядок малости, что и малые силы, связанные с нелинейными и диссипативными свойствами системы и возникающие при конечных амплитудах колебаний в ней. В таком случае воздействующую силу можно объединить с этими малыми силами и свести рассмотрение задачи к приближенному исследованию уравнения типа

,

которое отличается от рассмотренного ранее (см. (3.8)) тем, что функция f₁ зависит не только от переменной x и её производной, но и явно от времени.

Вводя в исходное уравнение новый масштаб времени  = ₁t, получим

.

Вводя обозначение и требуя, чтобы расстройка  была величиной порядка малости , запишем

.

В правой части этого уравнения малые параметры; обозначив , запишем окончательно

.

(4.20)

Тогда можно решить это уравнение в соответствии с методом ММА.

В качестве простейшего примера рассмотрим вынужденные колебания в контуре с нелинейным затуханием R(i) = R₀(1 + ₀i²) (см. рис. 26). Для подобного контура мы можем записать уравнение Кирхгофа в виде

.

Если считать, что собственная частота контура ₀ близка к частоте внешней силы ₁, то, вводя обозначения

,  ,  ,  ,  ,

приходим к уравнению

,

(4.21)

где

,  .

Для применимости метода ММА к решению этого уравнения необходимо потребовать, чтобы выполнялись неравенства: расстройка  << 1, затухание в системе 2 << 1, амплитуда внешнего воздействия P << 1, т. е. чтобы все члены в правой части уравнения были малы по сравнению с членами в левой его части.

Решение будем искать в виде (3.15), тогда, вводя ₁ =  + , получаем следующие укороченные уравнения

После интегрирования имеем

(4.22)

Стационарные решения находят из укороченных уравнений при условии, что амплитуда и фазовый сдвиг не меняются: , или , , т. е. из системы уравнений

возводя левые и правые части этих уравнений в квадрат и складывая их, получим уравнение

;

оно представляет собой уравнение резонансной кривой для добротного колебательного контура с нелинейным сопротивлением.

При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Мы предполагаем, что есть третья гармоника, т. е. если ₁  частота внешнего воздействия, то 3₁  ₀. Настраиваем контур на эту гармонику и ищем решение (4.20) методом ММА в виде

,

полагая, что

,  .

Результат получается достаточно близким к тому, который даёт метод гармонического баланса.

Полученные выше укороченные уравнения позволяют найти не только стационарные амплитуду и фазу вынужденного колебания, но в принципе и закон установления стационарного процесса путём интегрирования системы укороченных уравнений (4.22). В этом, в частности, заключается большая эффективность метода ММА по сравнению с методом гармонического баланса, дающего в принципе только стационарные значения амплитуд.