3.3. Применение метода мма к колебательным системам Вопрос 8

Вернёмся к самому простому RLC резонансному контуру (рис. 22). Колебания в нём описываются следующим уравнением

.

Введём безразмерное время  = ₀t; после дифференцирования по этой переменной, получим

, где .

(3.22)

Будем решать уравнение в форме (3.15), т. е. через амплитуду и фазу. В этом случае, с учётом (3.16), будет

.

Подставляя в укороченные уравнения (3.20) мы получаем

;

.

Эти укороченные уравнения легко интегрируются:

;  .

Следовательно, колебательный процесс в контуре описывается функцией

,

(3.23)

или в размерном времени

.

(3.24)

Можно, конечно, искать решение уравнения (3.2) методом Лапласа в виде x(t) = X₀e^pt, тогда характеристическое уравнение имеет вид

,

корни которого легко найти

,

т. е. общее решение можно записать так

, где .

(3.25)

Сравним теперь решения, полученные разными методами  методом ММА и общим методом Лапласа, т. е. (3.24) и (3.25). Как видно, амплитуда меняется одинаково, а частота определена неправильно: метод ММА говорит, что колебания будут с частотой ₀, хотя точное решение даёт небольшой сдвиг частоты. Дело в том, что мы сами задаём с самого начала, что колебания будут с частотой ₀ введением безразмерного времени, т. е. что заложили, то и получили. Мы можем, в принципе, задавать и произвольную частоту .

Рассмотрим нелинейный контур с конденсатором с сегнетоэлектриком в пренебрежении затуханием (рис. 19). Запишем (2.20) вместе с (2.19):

.

Введём x = q/q₀, где q₀  некоторый заряд, соответствующий ожидаемой максимальной амплитуде колебаний в контуре, тогда наше уравнение примет вид

, где .

Введём новый масштаб времени  = t, где  не обязательно совпадает с ₀. С учётом этой подстановки

.

Вводя обозначение , , получим

.

Учитывая, что мы ограничиваемся случаем || << 1 и  << 1 (частота колебаний мало отличается от частоты собственных колебаний), можно, отбрасывая член второго порядка малости, приближённо записать

.

Это уравнение принадлежит к типу , и к нему можно применить метод ММА. Используем вариант с медленно меняющимися амплитудами u и v (представление (3.13)), тогда укороченные уравнения, с учётом (3.9), будут иметь вид

;

.

Так как нет диссипации, то мы можем сказать, что . Это возможно в случае, если  = 0. Из этого следует, что  = ₀, т. е. мы теряем неизохронность колебаний (аналогично было в методе последовательных приближений). Таким образом, метод ММА не позволяет найти сдвиг частоты в контуре с квадратичной нелинейностью. Это связано с тем, что метод ММА  метод первого порядка. Чтобы этого избежать, необходимо взять вторые гармоники ряда Фурье.

Рассмотрим колебательный контур с малым нелинейным затуханием, т. е. RLC контур (рис. 22). Рассмотрим колебания с постоянными L и C, но с сопротивлением R(i), зависящим от тока по закону R = R₀(1 + ₀i²). Это соотношение качественно передаёт зависимость омического сопротивления проводников от протекающего через них тока за счёт их нагрева.

Составим уравнение движения в этом контуре

.

Вводя, как обычно, новые переменные x = q/q₀ и  = ₀t, где , получим уравнение

, где , .

При малом затухании, когда для приближённого решения задачи можно применить метод ММА. Тогда исходное уравнение удобно записать в виде

.

Используя (3.15) и (3.16) для X и  имеем укороченные уравнения

;

.

Первое из этих уравнений домножим на 2X и сделаем замену y = X², тогда

.

После преобразований получаем:

.

Это уравнение легко интегрируется:

, или ,

где D  постоянная, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент при  = 0 X(0) = X₀, то

.

Полученное соотношение для X выражает закон уменьшения амплитуды колебаний в исследуемом нелинейном контуре, начиная от исходного значения X₀.

Отметим также, что, как следует из проведённого рассмотрения, величиной, определяющей ход процесса, является амплитуда колебаний, а фаза колебаний не играет никакой роли. Это обстоятельство вполне понятно, так как характер движения задаётся исходным запасом колебательной энергии, сообщённой контуру вначале процесса, а фаза колебаний никак не определяет ход колебания  соответствующим выбором произвольного для автономной системы начала отсчёта времени фазу можно сделать любой.