3.2. Метод медленно меняющихся амплитуд, укороченные уравнения Вопрос 7
Метод медленно меняющихся амплитуд (ММА) применим к системам с малыми нелинейностью и диссипацией и основан на известной теореме, что свойства системы и решение описывающего её ДУ изменяются непрерывно при изменении параметров этого уравнения. При малых нелинейностях и диссипации движение в системе будет близко к чисто гармоническому, соответствующему линейной консервативной системе, уравнение которой имеет вид
.
Введём безразмерное время = 0t, тогда в этом масштабе времени уравнение будет таким
.
Для системы близкой к линейной консервативной уравнение выглядит так:
|
(3.7) |
,где f произвольная регулярная, в общем случае нелинейная функция координаты q и скорости её изменения, значения которой остаются малыми по сравнению со значениями членов, стоящих в левой части уравнения (3.7) (в силу слабой нелинейности параметров и малых потерь в системе).
Выберем в уравнении (3.7) масштаб по координате q и перейдём к безразмерной переменной x так, чтобы при колебаниях изменение x было порядка единицы, тогда правая часть (3.7) должна быть много меньше единицы:
|
(3.8) |
, 
.При = 0 решением уравнения будут чисто гармонические колебания
,
где a и b постоянные, задаваемые начальными условиями.
При 0 < || < 1 будем считать, что решение может быть записано в виде
|
(3.9) |
,где u() и v() медленно меняющиеся функции (в сравнении с cos()), так что
,
.
Но получается, что одной функции x() ставятся в соответствие две функции u() и v(), т. е. задача становится заведомо неоднозначной. Можно произвольно задать одну из функций и подобрать к ней вторую, при этом, если мы не угадаем, то эта функция будет быстро меняться. Потребуем, чтобы функция x() удовлетворяла условию:
|
(3.10) |
для чего необходимо и достаточно, чтобы
|
(3.11) |
При выполнении условия (3.11) уравнение-связь (3.9) становится однозначным, т. е. становится однозначной связь функций x(), u() и v().
Используя уравнения (3.9) (3.11), преобразуем (3.8): продифференцируем (3.10) по времени и сложим с (3.9) с учётом (3.8):
|
(3.12) |
.Умножим (3.12) на sin(), а (3.11) на cos() и вычтем из первого второе; потом умножим (3.12) на cos(), а (3.11) на sin() и сложим их, тогда получим систему:
|
(3.13) |
Таким образом, мы получили систему двух уравнений первого порядка (3.13), которая, естественно, полностью эквивалентна одному уравнению второго порядка (3.8). Она не даёт никаких преимуществ в смысле упрощения задачи. Существенный в шаг в сторону нахождения приближенного решения можно сделать, если воспользоваться условием медленного изменения функций u и v за период. Заменим мгновенные значение u и v их средними значениями за каждый период колебаний, равный 2. Производя усреднение по периоду, мы приходим к системе так называемых укороченных уравнений
|
(3.14) |
; 
Эта система уже не содержит в правой части в явном виде времени , и во многих случаях её можно легко проинтегрировать, получая временной ход медленно меняющихся функций u() и v(), являющихся амплитудами искомого решения.
Систему уравнений (3.14) можно получить из системы (3.13), если правые
части разложить в ряд Фурье как периодические функции с периодом 2 и отбросить все осциллирующие члены (в системе (3.14) записаны только первые слагаемые ряда). В этом отбрасывании осциллирующих членов и заключается "укорочение", приводящее от системы уравнений, точно соответствующей исходному уравнению, к приближенным укороченным уравнениям.
Переход от переменных
x,
к переменным u, v
эквивалентен переходу от фазовых
координат x,
к вращающейся системе координат u,
v. Это означает, что
система координат u,
v в координатной
плоскости x,
вращается с угловой частотой, равной
единице.
Рассмотрим теперь другой вариант метода ММА с переходом от исходных координат x, к радиальным координатам амплитуде X и фазе , которые также являются медленными переменными в масштабе времени .
Будем теперь искать решение исходного уравнения (3.8) в виде
|
(3.15) |
.Введём замену переменной :
|
(3.16) |
,для чего необходимо положить
|
(3.17) |
.Дальше дифференцируем (3.16) по времени, с учётом равенства (3.17), и вместе с (3.15) подставляем в исходное уравнение (3.8), тем самым, выражая его через новые переменные X и .
|
(3.18) |
Из (3.17) и (3.18) находим точную систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системе
|
(3.19) |
Здесь X() и () являются медленными функциями времени , что позволяет усреднить правые части (3.19) за период, считая, что за это время X и не меняются. Указанная процедура усреднения приводит к системе укороченных уравнений вида
|
(3.20) |
Мы обозначили 1 = + .
Найдём спектр ММА колебания. Для этого запишем сигнал ММА (3.15) в реальном масштабе времени:
.
Предполагается, что соотношение (3.16) выполняется, а центральная частота 0 выбирается так, чтобы амплитуда колебаний X(t) менялась как можно медленнее. Условие медленного изменения амплитуды принимает вид:
|
(3.21) |
, 
.Спектр ММА процесса будет
.
Здесь мы обозначили
спектр комплексной огибающей
колебания
:
.
У нас и X, и меняются медленно, тогда комплексная огибающая меняется медленно по сравнению с характерным временем 1/0. Это значит, что >> 1/0, где характерное время изменения комплексной огибающей.
Рис. 25. Спектр сигнала. |
Можно определить ширину спектра из условия, что при | 0| > спектр сигнала S(j) 0. В теории интегралов Фурье установлена связь между шириной полосы спектра и временем характерного изменения импульса: 1. Таким образом, любой узкополосный процесс, для которого |
<< 0, является ММА процессом, но обратное не обязательно.