1. Законы динамики. Основные понятия и определения. Система единиц.

закон инерции (1-ый закон): материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.

Инерция – это св-ва точки, или тела, сохранять свою равномерное прямолин движ или состояние покоя.

Мерой инерции явл. масса объекта, которая физически характеризует кол-во вещ-ва заключённого в нём.

основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): ускорение матер.точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление

з акон равенства действия и противодействия (3-й закон (Ньютона Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению.

(4-й закон) принцип независимости действия сил.

При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

. - (осн. ур-ие динамики)

Основными механическими единицами в этой системе являются: единица пути — м, единица массы — кг, единица времени — с. Производные единицы: единица скорости — м/с, единица ускорения — м/с2, единица силы — ньютон (Н).

Ньютон — это сила, способная массе 1 кг сообщить ускорение 1 м/с2. Размерность ньютона определяется из основного уравнения движения по единицам массы и ускорения.

За техническую единицу массы принимают такую массу, которая под действием постоянной силы 1 кгс получает ускорение 1 м/с2. Численная величина массы m определяется по весу тела и ускорению свободного падения

m=кгс/(м/с2)

Свободное падение тела под действием силы тяжести есть равномерно ускоренное движение С ускорением

свободного падения.

2. Дифуры движения мат точки

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

в проекции на декартовы оси коорд.:

на оси естественного трехгранника: ma_=F_i; ma_n=F_in; ma_b=F_ib (a_b=0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е.

( – радиус кривизны траектории в текущей точке).

Начальные условия при интегрировании дифференциальных уравнений необходимы для нахождения частного решения задачи. Иначе говоря, для определения констант интегрирования

3.Первая и вторая основные задачи динамики.

Две основные задачи динамики: первая задача динамики – зная закон движения точки или скорость, определить действующую на нее силу. В общем случае, решение указанной задачи сводится к дифференцированию кинематических характеристик движения точки и определении в дальнейшем сил вызывающих такое движение.

вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки. – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки. Дважды интегрируя его, находим общее решение x=f(t,C₁,C₂).

Постоянные интегрирования C₁,C₂ ищут из начальных условий:

t=0, x=x₀, =V_x=V₀, x=f(t,x₀,V₀) – частное решение – закон движения точки.

Закон св падения. Если взять свободно падающее тело, основное уравнение динамики будет иметь вид my^’’=mg, откуда y^’’=g. Следовательно, интегрирую один раз v=gt+C₁, интегрируя дважды получим y=gt²/2+C₁t+C₂. Чтобы определить константы интегрирования С₁ и С₂, подставим начальные условия: при t=0 v₀=g*0+C₁, y₀=g*0/2+C₁*0+C₂. Отсюда, C₁=v₀, C₂= y_0, следовательно v=gt+v₀, y=gt²/2+v₀+y₀

4. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки в случаях: F=const, F=F(t), F=F(v),F=F(s). ОТВЕТ 1)Сила зависит только от времени. Пусть материальная точка массой m движется прямолинейно под действием переменной силы, зависящей только от времени, т.е. F=F(t). Запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения , разделяя переменные и интегрируя получим . Далее, так как F(t) известна, то этот интеграл можно вычислить, в результате чего получим некоторую функцию времени. Обозначая ее через Ф(t) получим , т.е. закон изменения скорости точки. Проинтегрируя обе части в пределах от x₀ до х и от 0 до t, окончательно находим .

2)Сила зависит от скорости.

Пусть материальная точка массой m движется прямолинейно под действием переменной силы, зависящей только от скорости, т.е. F=F(v). Запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения (1), разделяя переменные и интегрируя получим . Если из этого уравнения нельзя найти v как явную функцию, воспользуемся следующим преобразованием (2), тогда уравнение (1) примет вид , разделив переменные и интегрируя в соответствующих пределах, получим: , откуда, найдя v(х), можно проинтегрировать еще раз и получить функцию х(t).

3)Сила зависит от координаты.

Пусть материальная точка массой m движется прямолинейно под действием переменной силы, зависящей только от координаты, т.е. F=F(х). Запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения (3), для того чтобы в (3) избавиться от времени, воспользуемся преобразованием (2) из пред. пункта, тогда mvdv=F(x)dx. Интегрируя в соответствующих пределах получим: , в результате получим v= , где Ф(х) это . Далее, интегрируя повторно получим выражение , откуда найдем искомый закон движения точки.

5.Колебания. Классификация сил. Диф ур прямлин колеб точки Колебания − это движение, обладающее той или иной степенью повторяемости во времени. Рассмотрим прямолинейные колебания материальной точки около неподвижного центра и введем следующую классификацию сил, которые могут действовать на точку при таких колебаниях. При этом ось Ох совместим с линией движения, а начало координат поместим в неподвижный центр.

1. Восстанавливающие силы – это силы, которые во все время движения направлены к неподвижному центру. В дальнейшем рассматриваем случай, имеющий большое практическое значение, когда восстанавливающие силы пропорциональны отклонению точки от неподвижного центра . В проекции на ось Ох : .

2. Силы сопротивления – это силы, препятствующие движению материальной точки. При движении тел с небольшими скоростями в вязких жидкостях или газах возникают силы сопротивления, пропорциональные скорости, т.е.: ,где b – коэффициент сопротивления. В проекции на ось Ox : .

3. Возмущающие силы – это силы, изменяющиеся с течением времени по заданному закону. Наибольший интерес представляют возмущающие силы, которые периодически изменяются с течением времени: , где H- амплитуда возмущающей силы, p– частота возмущающей силы. Составим дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки под действием восстанавливающей силы, силы сопротивления и возмущающей силы:

или После тождественных преобразований получаем дифференциальное уравнение прямолинейных колебаний материальной точки С начальными условиями: x=x0, x’=x’0

В данном уравнении коэффициенты характеризуют действие сил сопротивления, восстанавливающей и возмущающей.Свободными (собственными) колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того, чтобы вызвать колебания, надо либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его.

· Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы (например, колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу).

· Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако, оменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой. То есть система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

· Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы).