26)1)Центры тяжести дуги окружности

Возьмем дугу АВ окружности радиусом R с центральным углом 2а .Так как ось х является осью симметрии этой дуги, то центр тяжести дуги лежит на этой оси и положение его определяется только координатой х.

хс = -г-•

Длина дуги L = /?2a, где 2а - центральный угол в радианах. Разбиваем всю дугу на бесконечно малые элементы длиной Mi и вычисляем координату х: 2R sin а

2Ra Окончательно получаем x,=R, (72.2)

где а - половина центрального угла в радианах.

Так как sin а < а, то центр тяжести дуги лежит внутри сектора АОВ.

 Центр   тяжести :  дуги   окружности  с центральным углом 2: ; кругового сектора: ; треугольник: в точке пересеч. медиан (1/3 медианы от основания).

2)Естественные координатные оси. Скорости и ускорения в естественных координатах.

 

 

.

Единичный вектор касательной к  траектории (S – длина дуги М₀М):

 

,  где   .

 

Дифференцируя   по S:   ,

где   -  единичный вектор главной нормали;  и направлен в сторону вогнутости;

 кривизна. (k = 0 - прямая); - радиус кривизны.

Единичный вектор бинормали :

.

 образуют правую тройку ортогональных единичных векторов. Они определяют направление естественных (натуральных) осей в том месте траектории, где находится движущаяся точка.

соприкасающаяся  

Очевидно, проекция на ось :  (может иметь разные знаки – зависит от направления S).

Для ускорения:

;

 

Но: ;

 

Очевидно, проекции ускорения на естественные оси:

на касательную:  ;

на главную нормаль:

на бинормаль: 0

Таким образом, ускорение лежит в соприкасающейся плоскости 

 

Задача.

 

 

 3)Отклонение падающих тел от вертикали

ПАДЕНИЕ ТЕЛ - движение тел при отсутствии у них нач. скорости, обусловленное притяжением Земли. Если П. т. осуществляется с небольшой по сравнению с радиусом Земли высоты, то действующую на тело силу тяжести Р = mg, представляющую собой сумму силы притяжения и центробежной силы инерции (учитывающей в первом приближении влияние вращения Земли), можно на данной гсографич. широте считать постоянной. При этих предположениях движение тела будет происходить под действием пост. силы тяжести и переменной силы сопротивления среды (воздуха или воды). В нек-рых случаях сопротивлением среды можно пренебречь; при этом предположении движение тела наз. свободным падением и представляет собой прямолинейное равномерно ускоренное поступат. движение. Ф-лы свободного П. т. характерны тем, что они не содержат к--л. коэффициентов, зависящих от масс тела и его формы. В практике пренебрегать действием сопротивления среды нельзя. Если принять, что гл. вектор сил сопротивления R = kSv², где v - скорость центра масс тела, S - площадь наиб. поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к направлению скорости v, a k - численный коэф., зависящий от формы тела и плотности среды, то для скорости центра масс тела в зависимости от пройденного им расстояния h получается ф-ла

где а = Из ф-лы (*) следует, что с возрастанием h скорость падения стремится к постоянной а, наз. предельной скоростью падения. Если k и S достаточно велики, то скорость падения приближается к предельной скорости на сравнительно коротких расстояниях от точки начала падения. При П. т. с больших высот необходимо принимать во внимание влияние вращения Земли , вызывающее отклонение падающего тела от вертикали, а также изменение силы притяжения с расстоянием тела от поверхности Земли. В первом приближении отклонение тела направлено к востоку; величина этого отклонения при свободном падении равна где - угл. скорость Земли, - широта, t - время падения; во втором приближении получается дополнит. отклонение к югу: х = При учёте изменения силы притяжения, к-рая обратно пропорц. квадрату расстояния от центра Земли, для скорости свободного падения имеет место ф-ла

Восточное и южное  отклонение   тел  при падении

Другим доказательством существования массодинамического поля Земли является большое расхождение

Экспериментальных данных, полученных рядом исследователей, измерявших величину  отклонения  свободно  падающего   тела  к востоку   от   вертикали , и расчетных данных, полученных при решении задачи падения тяжелой точки, учитывающей вращение Земли с угловой скоростью как геометрической системы .

Расчетная величина  отклонения  точки падения  тела  с высоты h  к   востоку  от  вертикали 

В на широте , обусловленная вращением Земли как геометрического объекта, с угловой скоростью

Сравнение результатов опытов и расчетов показывает, что во всех экспериментах

наблюдавшиеся величины восточного  отклонения   падающего   тела  в 1,4 - 2 раза

меньше расчетных значений. Такое расхождение результатов расчета и эксперимента

ни как не может быть объяснено погрешностями экспериментов или расчетной

методики, построенной при условии, что Земля вращается вокруг оси просто как

геометрический объект. Полученные результаты могут быть объяснены тем, что на

свободно  падающее   тело , кроме гравитационных и инерционных сил, действуют

массодинамические силы, возникающие при движении  тела  в массодинамическом

поле вращающейся Земли.