2 Теорема. Ускорение любой точки тела при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Доказательство

П усть полюс А имеет ускорение a_A, а плоская фигура вращается с мгновенной угловой скоростью  и мгновенным угловым ускорением  вокруг полюса А(рис.2.59). С полюсом А свяжем координатные оси Аx₁y₁, движущиеся поступательно по отношению к осям Oxy. Ускорение точки М можно найти как ускорение точки при сложном движении. Так как переносным здесь является поступательное движение вместе с полюсом А, то переносные ускорения всех точек плоской фигуры будут одинаковыми, равными ускорению полюса, т.е. a_Me =a_A.

Относительным движением является вращательное движение вокруг полюса А. Применяя теорему сложения ускорений при переносном поступательном движении, получаем a_M = a_Me + a_Mr, но a_Mr = a_MA, поэтому

a_M = a_A + a_VA, (2.106)

что и требовалось доказать.

Используя результаты раздела 2.2.3, имеем a_MA = a_MAⁿ + a_MA и

a_M = a_A + a_MAⁿ + a_MA, (2.107)

где a_MAⁿ - нормальное ускорение точки М во вращательном движении вокруг полюса А, a_MAⁿ = ²·AM, вектор a_MAⁿ всегда направлен от точки М к полюсу А; a_MA - касательное ускорение точки М во вращательном движении вокруг полюса А, a_MA = ·AM, направлен вектор a_MA перпендикулярно к МА в зависимости от направления (см.рис.2.59).

3 dK_O/dt=M^e_O (14)

В проекциях на оси xyz c началом в О теорема имеет вид

dK_x/dt=M^e_x=m_x(F^e_j)

dK_y/dt=M^e_y=m_y(F^e_j) (15)

dK_z/dt=M^e_z=m_z(F^e_j)

Подставим теперь выражение (12) в формулу (14). После дифференцирования получим

dK_С /dt+ v_C×Mv_C+r_C×Mw_C=M^e_O (16)

C учетом того, что v_C×Mv_C=0, Мw_C=V^e и теоремы о зависимости главного момента от центра получаем

dK_С /dt= M^e_Or_C×V^e= M^e_O+CO×V^e=M^e_C (17)

Доказанная теорема об изменении относительного кинетического момента

dK_С /dt= M^e_C (18)

имеет тот же вид, что и в инерциальной системе.

В проекциях

dK_xC /dt= m_xC (F^e_j)

dK_yC /dt= m_yC (F^e_j) (19)

dK_zC /dt= m_zC (F^e_j)

17

2

Углово́е ускоре́ние — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно^[1]:

Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону   при ускоренном вращении и противоположно   — при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени^[2], то есть

,

и направлен по касательной к годографу вектора   в соответствующей его точке.

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:

a_τ = αR,

где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени.

 векторная величина, характеризующая скорость вращения тела.

Вектор угловой скорости по величине равенуглу поворота тела в единицу времени:

,

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно представить в виде векторов. Вектор угловой скорости   направлен по оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела в дан­ный момент времени видно против хода часовой стрелки. По модулю этот вектор равен абсолютному значению  . В качестве точки приложения вектора угловой скорости   может быть принята любая точка (вектор   есть вектор скользящий).

Вектор углового ус­корения   также лежит на оси вращения, совпадает по направлению с вектором угловой скорости   в случае ускоренного вращения (рис. 2.12, а) и направлен в противоположную сторону при замедленном вращении.