Ответы к экзамену по высшей математике.
Что называют множеством, элементом множества?
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке Георга Кантора: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).»
Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Также, возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств.
В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит.
Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.
Элемент множества - Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А).
Какие множества называются счётными (несчётными)?
Счетное
множество - В теории
множеств, счётное мно́жество
есть бесконечное
множество, элементы которого
возможно пронумеровать натуральными
числами. Более формально:
множество
X является счётным, если существует
биекция
(отображение)
,
где
обозначает
множество всех натуральных чисел.
Другими словами, счётное множество —
это множество, равномощное
множеству натуральных чисел.
Счётное
множество является «наименьшим»
бесконечным множеством, то есть в любом
бесконечном множестве найдётся счётное
подмножество. Мощность
множества всех натуральных
чисел обозначается символом
(произносится:
"алеф-нуль").
СВОЙСТВО:
Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).
Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.
Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.
Счётные множества - !Примеры!
Простые числа;
Натуральные числа;
Целые числа;
Рациональные числа;
Алгебраические числа;
Кольцо периодов;
Вычислимые числа;
Арифметические числа;
Множество всех конечных слов над конечным или счётным алфавитом;
Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси;
Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами;
Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны.
Несчетное множество - такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.