6.5.3. Правило и метод резолюции в теориях первого порядка

Определение. Рассмотрим дизъюнкты D₁ и D₂, назы-ваемые посылками. D₁ и D₂ не должны иметь общих пере-менных. Под дизъюнктом D^₁ будем понимать D₁ либо его склейку D₁, под D^₂ - либо D₂ либо его склейку D₂. Если литеры L₁  D₁ и  L₂  D₂ имеют наибольший общий унификатор ^ , то дизъюнкт D = (D^₁ \ L₁^ )  (D^₂ \ L₂^ ) называется резольвентой или заключением посылок D₁ и D₂. Литеры L₁ и L₂ называются отрезаемыми.

241

Понятия резолютивного вывода и доказательства не-выполнимости множества дизъюнктов путём вывода из него пустого дизъюнкта такие же, как и для ИВ.

Метод резолюций так же, как и метод, основанный на теореме Эрбрана, полон, т.е. его применение к невыполни-мому множеству дизъюнктов теоретически всегда приводит к резолютивному выводу пустого дизъюнкта  . Однако в процессе построения резолютивного вывода также возмож-ны ситуации, когда он будет длиться недопустимо долго.

Для практического выяснения невыполнимости мно-жества дизъюнктов S необходимо путём применения ме-тода резолюции порождать все возможные дизъюнкты и присоединять их к S до тех пор, пока не будет получен пустой дизъюнкт. Для порождения резольвент можно ис-пользовать разные процедуры. Самым простым из них явля-ется метод насыщения. Его можно представить следующим образом.

ШАГ 0. Заданное множество S, а также все его склейки принимаем в качестве S₀.

ШАГ 1. В качестве множества S₁ принимаем все резольвен-ты, полученные из дизъюнктов S₀, а также их склейки.

ШАГ 2. В качестве множества S₂ принимаем все резольвен-ты, полученные из дизъюнктов D₁  (S₀  S₁) и дизъюнк-тов D₂  S₁, а также их склейки.

. . .

ШАГ k. В качестве множества S_k принимаем все резоль-венты, полученные из дизъюнктов D₁  (S₀  S₁ ...  S_{k -1} ) и дизъюнктов D₂  S_{k -1}, а также их склейки.

Процесс порождения заканчивается после появления пустого дизъюнкта.

Анализ процесса резолютивного вывода показывает, что наряду с необходимыми порождается много лишних, избыточных дизъюнктов, которые не участвуют в выводе

242

пустого дизъюнкта. Всё множество избыточных дизъюнк-тов можно выявить только в конце доказательства. Однако часть из них можно выявить непосредственно в процессе вывода и сразу удалить из порождаемого множества. Таки-ми дизъюнктами являются, в частности, тавтологии (тож-дественно истинные дизъюнкты). Их вычеркивание не влия-ет на невыполнимость исходного множества S. Также можно вычеркнуть те из дизъюнктов, к которым частично или полностью могут быть сведены другие дизъюнкты.

Определение. Рассмотрим дизъюнкты D₁ ,D₂. D₁ яв-ляется поддизъюнктом D₂ (поглощает D₂), если существует подстановка , при которой D₁  D₂. D₂ называется над-дизъюнктом D₁. Частным случаем поддизъюнктов и над-дизъюнктов являются равные дизъюнкты (D₁ = D₂).

Правила, по которым производится удаление дизъ-юнктов, называются стратегией вычёркивания . В процес-се порождения дизъюнктов вычёркиваются все тавтологии и наддизъюнкты.

Проверка тавтологичности дизъюнкта сводится к про-верке наличия в нем контрарных пар литер (одинаковых, но отличающихся наличием отрицания).

Проверка поглощения дизъюнктов сложнее, так как само определение свойства дано через некоторую подста-новку, существование которой для сложных дизъюнктов неочевидно. Для дизъюнктов сложного вида применяют специальный алгоритм проверки поглощения.

Стратегия вычёркивания сохраняет полноту метода резолюции при значительном сокращении объёма необхо-димых выкладок.

Наряду с рассмотренной применяется ещё целый ряд разновидностей и модификаций метода резолюции, назна-чение которых - ускорить вывод пустого дизъюнкта в слу-чае невыполнимости исходного множества дизъюнктов.

243