6.5.2 Операции подстановки, унификации и склейки

В ИВ литеры дизъюнктов в конкретных интерпрета-циях являются логическими константами, поэтому поиск контрарных литер прост. В теориях первого порядка, где в качестве литер выступают предикаты, являющиеся логи-ческими функциями от констант, предметных переменных и функций, поиск контрарных литер усложняется.

Рассмотрим множество дизъюнктов S . Поскольку не-выполнимость S доказывается сразу для всех возможных интерпретаций, то для получения контрарных пар литер в дизъюнктах S (и , соответственно, получения резольвент) можно использовать дизъюнкты не только в их исходной форме, но и новые дизъюнкты, получаемые путём различ-ных подстановок в литеры вместо предметных переменных некоторых термов.

Пример 1. Доказать невыполнимость множества дизъ-юнктов S = {P(x)  Q(z,y), P(f(y)),  Q(z,a)}.

Решение. В исходных дизъюнктах контрарных пар литер нет. Подставив в первый дизъюнкт D₁ = P(x)  Q(z,y) вмес-то x функцию f(y), получаем новый дизъюнкт D^₁ = P(f(y)) 

233

Q(z,y), который имеет контрарную пару литер с дизъюнктом D₂ =  P(f(y)). Применяя правило резолюции к D^₁ и D₂, получим резольвенту D₄ = Q(z,y). Подставляя в D₄ вместо y константу a, получим пару контрарных дизъюнктов  Q(z,a) и Q(z,a). После применения к ним правила резолюции по-лучим резольвенту, равную пустому дизъюнкту  , что до-казывает невыполнимость S.

Рассмотрим подстановки более подробно.

Определение. Подстановками называются конечные множества вида  = {t₁/x₁,..., t_n/x_n},

где (x₁,..., x_n) - попарно различные предметные переменные, (t₁,..., t_n) - термы, отличные от соответствующих пере-менных (при 1  i  n : t_i  x_i). Обозначаются подстановки буквами из греческого алфавита.

Определение. Пустой называется подстановка, не со-держащая замен: n=0. Обозначается пустая подстановка че-рез .

Допустим, рассматривается некоторое множество дизъюнктов S = {D₁, D₂, ..., D_k}.

Определение. Примером дизъюнкта D_i  S назы-вается результат одновременной подстановки  ={t₁/x₁,..., t_n/x_n} термов (t₁,..., t_n) вместо переменных (x₁,..., x_n) в D_i. Обозначается данный пример как D_i . Каждую подстановку {t_i/x_i} будем для краткости называть элементарной.

В отличие от ранее рассмотренных основных приме-ров дизъюнктов примеры могут содержать предметные пе-ременные, поскольку при подстановке они могут заменяться новыми предметными переменными, а также может произ-водиться только частичная их замена термами.

Пример 2. Применить к дизъюнкту D_i = P(x)  Q (f(y))  R (z,a) подстановку  = {g(y)/x, a/y,x/z}.

Решение. После подстановки получаем пример следующего

вида: D^_i = P(g(y))  Q (f(а))  R (x,a).

234

Допустим, вначале к некоторому дизъюнкту D_i была применена подстановка  = {t₁/x₁,..., t_n/x_n}, после чего все переменные (x₁,..., x_n) были заменены термами (t₁,...,t_n). За-тем к вновь полученному дизъюнкту была применена под-становка  = {u₁/y₁,...,u_m/y_m}. В итоге её применения а) все переменные (y₁,...,y_m) были заменены термами (u₁,..., u_m), б) термы из (t₁,...,t_n), которые входят в множество (y₁,...,y_m), также были заменены термами (u₁,...,u_m). Результат второй подстановки обозначим через (t₁,...,t_n). При последова-тельном применении , а затем  возможно появление тож-дественных элементарных подстановок, при которых t_i = x_i. Например, подстановка , содержит элементарную под-становку {y/x}, а  - элементарную подстановку {х/y}.Тогда при последовательном применении  и  появится элемен-тарная тождественная подстановка {х/х}.

Если в подстановки  и  входят одинаковые пред-метные переменные x_i и y_j (x_i = y_j ), то при второй подста-новке  элементарная подстановка u_j/y_j уже не будет “сра-батывать”, поскольку все элементы y_j уже будут заменены при первой подстановке.

Определение. Если первой была применена подста-новка , а второй - подстановка , то их композицией () называется подстановка, выполняющая сразу те же замены, что и при данные подстановки при последовательном при-менении.

Утверждение. Композиция (  ) подстановок  = {t₁/x₁, ... , t_n/x_n} и  ={u₁/y₁,...,u_m/y_m} может быть получена из подстановки { t₁/x₁,..., t_n/x_n , u₁/y₁,...,u_m/y_m} вычёркиванием:

а) всех элементарных подстановок t_i/x_i, у которых t_i = x_i (тождественных),

б) всех элементарных подстановок u_j/y_j, у которых y_j  (x₁,..., x_n) (т.е. таких элементарных подстановок, которые не будут

235

применяться во второй подстановке  вследствие того, что элементы y_j уже изменены первой подстановкой. Cпра-ведливость утверждения следует из сделанных выше заме-чаний.

Пример 3 . Построить композицию () подстановок  = {у / x, z / y, f(a) / z} и  = {b / z, x / y}.

Решение. Так как у = х, z = b, а к f(a) подстановка  не применима, то

{ t₁/x₁,..., t_n/x_n , u₁/y₁,...,u_m/y_m} = { x/x, b/y, f(a)/z , b/z, x/y}.

Вычеркиваем первую элементарную подстановку х/x (тождественную), а также четвёртую и пятую b/z, x/y, кото-рые не участвуют во второй подстановке  из-за того, что переменные z, y изменены в первой подстановке. В итоге получим: (  ) = { b/y, f(a)/z}.

Cвойства композиций подстановок.

Для любых подстановок  ,  , справедливы следую-щие свойства:

1. Ассоциативность:      = (  )   =   (  ).

2.Коммутативность c пустой подстановкой:    =   .

Потенциальные возможности подстановок таковы, что с их помощью нельзя добавлять или снимать отрицание с предикатов. Однако, применяя подстановки, можно (не во всех случаях) привести переменные и термы, входящие в предикаты, к единому виду.

Определение. Подстановка  называется унифика-тором множества выражений Е ={E ₁ , E ₂ , ... , E _k }  когда E₁=E₂=...=E_k. Если унификатор для множества Е суще-ствует, то само множество называется унифицируемым.

Очевидно, унификатор может быть неединственным, поскольку при применении любой композиции подстановок  унификатора  с любой подстановкой  будет выпол-няться равенство E₁ = E₂ = ...= E_k .

236

Определение. Унификатор  называется наиболее об-щим унификатором для множества выражений Е ={E ₁ , E ₂ , ... , E _k }  когда любой унификатор  множества выра-жений Е можно представить в виде  =   , где  - неко-торая подстановка.

Пример 4 . Найти унификатор множества E = { P(x,y), P(a,b)}. Унификатором Е является подстановка  ={а/x, b/y}. После её применения Е₁ = Е₂ = Р(a,b).

Рассмотрим более сложные случаи различия выраже-ний. Допустим, имеется множество из k выражений Е ={E₁ , E₂ , ... , E_k }, каждое из которых зависит от s подвыражений:

E₁ = E₁ (e₁₁ , e₁₂ , ... ,e_1s);

E₂ = E₂ (e₂₁ , e₂₂ , ... ,e_2s);

. . .

E_k = E_k (e_k1 , e_k2 , ... ,e_ks) .

Множество подвыражений e_j1 , e_j2 , ... ,e_jk , стоящих в каждом из выражений E₁ , E₂ , ... , E_k на j-той позиции, на-зовём подвыражениями с индексом j. Если все такие под-выражения e_j1 , e_j2 , ... ,e_jk одинаковы, то назовём их совпа-дающими. Если не все одинаковы (т.е. существуют номера p,q при которых e_jр  e_jq ), то назовём их несовпадающими.

Пример 5. Определить совпадаюшие и несовпадаю-щие подвыражения в множестве выражений Е ={E₁ ,E₂ ,E₃ } = {P(x,y,z,u), Р(x,f(a),z,g(z)), Р(x,y,z,g(y))}.

Решение.

j=1: e₁₁ = e₂₁ = e₃₁ =x,  подвыражения с индексом j=1 совпадают,

j=2: e₁₂ = e₃₂ =у, e₂₂ =f(a),  подвыражения с индексом j=2 не совпадают,

j=3: e₁₃ = e₂₃ = e₃₃ =z,  подвыражения с индексом j=3 совпадают,

j=4: e₁₄ = u, e₂₄ =g(z), e₃₄ = g(x),  подвыражения с индексом j=4 не совпадают.

237

Таким образом, подвыражения, стоящие на первых и третьих позициях, совпадают, а на вторых и четвёртых позициях - не совпадают.

Определение. Рассмотрим множество выражений Е={E ₁, E ₂ , ... , E _k }, вида:

E₁ = E₁ (e₁₁ , e₁₂ , ... ,e_1s);

E₂ = E₂ (e₂₁ , e₂₂ , ... ,e_2s);

. . .

E_k = E_k (e_k1 , e_k2 , ... ,e_ks).

Множеством рассогласований D _j множества выраже-ний Е называются несовпадающие подвыражения e_j1 , e_j2 , ... ,e_jk с минимальной величиной индекса j. Если для всех индексов 1  j  s подвыражения совпадают, то множество рассогласований множества выражений Е принимаем рав-ным нулю: D _j = .

Для множества Е = {P(x,y,z,u), Р(x,f(a),z,g(z)), Р(x,y,z , g(y))} из Примера 5 множеством рассогласований будет D ₂ = {y, f(a)}. Рассмотрим на этом множестве Е, каким образом можно, последовательно устраняя рассогласования, унифи-цировать все множество.

1. Вначале множество рассогласований равно D ₂ = {y, f(a)}. Его можно унифицировать при помощи подстановки  = {f(a)/y} на множестве Е. После применения  получим:

E₁ = P(x, f( a ), z, u), E₂ = Р(x, f ( a ), z, g ( z )), E₃ = Р(x, f(a), z, g ( f (a)).

2. Для индексов j=1,2,3 подвыражения совпадают. Мно-жество рассогласований равно D₄ = {u, g(z), g(f(a))}. Его можно унифицировать при помощи подстановки ₂ = {f(a)/z, g(f(a))/u} на множестве Е. После применения ₂ получим:

E₁₂ = P( x, f(a), f(a), g(f(a))), E₂₂ = Р(x, f(a), f(a), g(f(a))), E₃₂ = Р(x, f(a), f(a), g(f(a))).

Таким образом, множество Е унифицируемо и найден-

238

ный унификатор имеет вид: ₂ = {f(a)/y, f(a)/z, g(f(a))/u}.

В общем случае для определения унифицируемости множества выражений Е и нахождения наиболее общего унификатора (если он существует) применяется

Алгоритм унификации.

Рассмотрим множество выражений Е ={E ₁ , E ₂ , ... , E _k }.

ШАГ 1. Введём индекс j₀ = 1. Присвоим Е =E,  = .

ШАГ 2.Определяем множество рассогласований D_j1 (j₁ – наи-меньший из индексов несовпадающих подвыражений, j₁  j₀). Возможны две ситуации:

а) D_j1 =  ( для всех индексов унификация подвыражений завершена ). Следовательно, исходное множество Е - уни-фицируемо, а  - его наиболее общий унификатор. Выход из алгоритма.

б) D_j1   ( для индекса j₁ подвыражения не совпадают (j₁ – минимальный из всех таких индексов). Переходим на следующий ШАГ 3.

ШАГ 3. В случае наличия ненулевого множества рассо-гласований D_j1 возможны также две ситуации:

а) существует подстановка , унифицирующая D_j1.Тогда присваиваем  := , Е :=Е ,

j₀ := j₁. Переход на ШАГ 2 (Продолжение выполнения алго-ритма).

б) не существует подстановки , унифицирующей D_j1. В этом случае исходное множество Е - не унифицируемо. Вы-полнение алгоритма прекращается.

Пример 6. Определить унифицируемость множества выражений Е ={E ₁ , E ₂ , E ₃ , E₄} = {P(x, y, z, u), Р(f(u, z), g(a), z), Р(y, y, z), Р(f(a,z), y, z) }.

Решение.

1. Индекс j₀ = 1. Присвоим Е =E,  = .

2. Поскольку подвыражения на первых местах не совпада-

239

ют, то j₁ =1 и множество рассогласований D₁ = { x, f ( u, z), y, f ( a, z)}. Подстановка  , унифицирующая D₁, может быть

построена. Она имеет вид:  = {f(a,z)/x, f(a,z)/y, a/u}. При-сваиваем  : =   =  , Е :=Е  = { P(f(a, z), f(a, z), z), Р(f(a, z), g(a), z), Р(f(a, z), f(a, z), z), Р(f(a, z), f(a, z), z)}.

3. Подвыражения на вторых позициях не совпадают, следо-вательно, j₁ =2 и множество рассогласований D₂ = {f(a, z)}, g(a)}. Подстановка, унифицирующая D₂, не существует, по-скольку путем замены переменных невозможно унифици-ровать подвыражения f(a,z) и g(a). Таким образом, рассмот-ренное множество выражений не унифицируемо.

За счет применения унификации можно также доби-ваться идентичности литер внутри дизъюнктов. Дублиру-ющие литеры при этом можно устранять. Соответствующая операция называется склейкой. Рассмотрим её строгое определение.

Определение. Пусть некоторый дизъюнкт D_i, содер-жащий множество литер {L}, имеет одинаковые литеры L(E₁), L(E₂), ..., L(E_k), обладающие одинаковой положитель-ностью (все одновременно без отрицания либо - с отрица-нием). Если для множества выражений Е={E₁,E₂,...,E_k} cу-ществует наибольший общий унификатор , то множество литер {L} называется склейкой для D_i .

Пример 7. Построить склейку для дизъюнкта D_i = Р(х)  Р(f(y))  Р(f(a))  Q(y).

Решение. Одинаковыми являются первая, вторая и третья литеры. Е= {х, f(y), f(a)}. Наиболее общий унификатор  = {a/y, f(a)/x}. D_i  = Р(f(a))  Р(f(a))  Р(f(a))  Q(a) = Р(f(a))  Q(a) .

Если в результате склейки в D_i  осталась одна литера, то она называется единичной.

240

Задачи.

1. Построить примеры дизъюнкта D_i = Р(х)  Q(y,f(z))  R(u,g(x)), полученные в результате применения подстано-вок:

а)  = {а/х, b/z, f(a)/u}; б)  = {у/х, z/y}; в)  = {g(а)/х, g(z)/y, a/z}.

2. Найти композицию подстановок:

а)  = {c/х, f(z)/y, y/z} и  = {b/х, z/y, g(x)/z};

б)  = {a/х, z/y} и  = {y/х, b/z, g(a)/z};

в)  = {y/х, z/y, b/z} и  = {a/х, x/y, f(c)/z}.

3. Построить пример коммутативных подстановок. Доказать некоммутативность подстановок в общем случае.

4. Выяснить унифицируемость множеств. В случае положи-тельного ответа - определить наиболее общий унификатор:

а) {P(x), P(a), P(b)}; б) {P(x), P(y), P(b)}; в) {Q(x,y), Q(x,b), Q(z,y)}; г) {Q(a,b), Q(x,y), Q(x,c)}; д) {Q(x,y), Q(x,f(a,b)), Q(a,z)}.

5. Проверить наличие склеек у дизъюнктов и построить их:

а) P(х,a) P(y,b) Q(z); б) P(х) P(a) Q(y,f(x)) Q(y,f(a)); в) P(х)  Q(f(a)) P(f(a)); г) Q(х,y) Q(y,f(a)) Q(z,u).