6.5. Метод резолюций

После появления ЭВМ метод, основанный на теореме Эрбрана, был использован для практической проверки об-щезначимости формул (путем проверки невыполнимости их отрицаний). Практика показала, что данный метод подходит только для проверки относительно простых формул. При усложнении формул множество основных примеров, кото-рые необходимо проверять, быстро растет и проверка стано-

230

вится технически невозможной. Алгоритм их проверки, ос-нованный на применении теоремы Эрбрана (и, соответст-венно, семантических деревьев), улучшали, однако недо-пустимо большой объем проверок по-прежнему сохранялся, поскольку сохранялся основной принцип - проверка всех возможных Н - интерпретаций.

Для того, чтобы избежать этого, стали использовать процедуры, в которых невыполнимость доказывается путём построения логического вывода из исходного множества дизъюнктов S пустого дизъюнкта или (что логически экви-валентно) некоторого дизъюнкта D_i и его отрицания D_i. Такие процедуры, в отличие от перебора интерпретаций, называют формульными.

Определение. Пустым называется дизъюнкт, не со-держащий литер. Его принято обозначать через  .

Пустой дизъюнкт является константой - ложью, по-скольку у него отсутствуют литеры, которые могли бы при-нимать на интерпретациях истинные значения.

Наиболее мощной из всех предложенных процедур данного типа является метод резолюций, предложенный Ро-бинсоном в 1965 г.

6.5.1. Метод резолюций в исчислении высказываний

Рассмотрим применение метода резолюций к мно-жествам дизъюнктов S, состоящим только из простых логи-ческих переменных, т.е. являющихся формулами ИВ.

Определение. Принципом резолюции называют сле-дующее правило вывода:

AB, AC

BC

Дизъюнкт BC называется резольвентой дизъюнктов AB и  AC.

231

Смысл принципа резолюции в том, что он сохраняет свойство невыполнимости. Т.е., добавление нового дизъ-юнкта B C к исходному множеству { A  B,  A  C } не приводит к появлению новых случаев невыполнимости при тех же логических значениях их составляющих A, B, C.

Определение. Рассмотрим множество дизъюнктов S . Резолютивным выводом С из S называется конечная после-довательность дизъюнктов С₁ , С₂ , ...,С_k , такая, что С_k = С и каждый С_i (1  i  k) либо принадлежит S либо является резольвентой С₁ , С₂ , ... , С_i-1 .

Особенность резолютивного вывода в том, что он, в отличие от обычного вывода в формальных логиках, дока-зывает не тавтологичность, а невыполнимость формул.

Невыполнимость множества дизъюнктов S будет дока-зана, если из S построен вывод пустого дизъюнкта  .

Пример 1. Доказать при помощи метода резолюций невыполнимость множества дизъюнктов S={P, Q, P Q}.

Решение. 1) резольвента P и PQ равна Q, 2) резоль-вента Q и Q равна  .Следовательно, построен резолютив-ный вывод {P, P Q, Q, } пустого дизъюнкта из S , что доказывает невыполнимость S .

Обозначая применение правила резолюции в виде па-ры ребер, соединяющих исходные дизъюнкты с их резоль-вентой, резолютивный вывод можно изобразить в виде де-рева вывода. В Примере 1 дерево вывода дано на Рис.3.26.

Задачи.

1. Доказать принцип резолюции в ИВ.

2. Доказать при помощи принципа резолюции невыполни-мость и построить соответствующие деревья вывода для множеств дизъюнктов:

а) {PQ,  PQ, PQ, PQ}; б) {PQR, PR,

232

Рис.3.26

Q, R}; в) {PQ, QR, P  Q, R}; г) {P, QR, PR, Q R }; д) {PQR, PR,  Q,  R }, е) {PRQ, Q, PQ, R, PR}; ж) {S, PRS, PS, R,}.