1. Исключить из а все логические связки ““ (эквива-лентность).

Для этого используем тавтологию (ВС) (В  С)&(С В). В примере после замены

(Q(x,у)  Р(х))  (Q(x,у)  Р(х))&( Р(х)) Q(x,у))

получим:

А= х Р(х)   y((Q(x,у)  Р(х))&( Р(х)) Q(x,у))).

2. Исключить из а все логические связки “ “ (импли-кация).

Для этого используем правило замены (ВС)  ( В С). Во всех заменах необходимо учитывать очередность вы-полнения операций, предписанную структурой формулы. В примере вначале выполняем замены в области действия квантора  y:

(Q(x,у)  Р(х))  (Q(x,у)  Р(х)),

(Р(х) Q(x,у))  (Р(х)  Q(x,у)).

При этом получаем формулу вида:

А= х Р(х)   y((Q(x,у)  Р(х)) & (Р(х)  Q(x,у))).

Заменяя оставшуюся импликацию , в итоге получим:

А=  (хР(х))   y((Q(x,у)  Р(х)) & (Р(х)  Q(x,у))).

После применения пунктов 1 и 2 в формуле остаются только логические связки  ,  и & .

216

3. Внести отрицание (  ) вглубь формулы.

После выполнения операции отрицание не должно стоять перед скобками либо перед кванторами, а может быть только перед предикатами. Для этого используются законы де Моргана и следующие равносильности формул ИП:

1.  х B(х)   x B( x),

2.  х B(х)   x B( x).

В примере, используя закон 1), получим:

А = х( Р(х))   y((Q(x,у)  Р(х)) & (Р(х)  Q(x,у))).

4. Вынести кванторы в начало формулы. Для этого используются законы

1) Q(x)B(x)  C  Q(x) (B(x)  C),

2) Q(x)B(x) & C  Q(x) (B(x) & C),

3) Q₁(x)B(x)  Q₂(x)D(x)  Q₁(x)Q₂(у) (B(x)  D(у)),

4) Q₁(x)B(x) & Q₂(x)D(x)  Q₁(x)Q₂(у) (B(x) & D(у)).

В формулах 1)-4) под Q(x) понимается любой из кван-торов  и  , подформула С не должна содержать перемен-ную x. Для того, чтобы при вынесении в начало формулы не изменялись первоначальные области действия кванторов и не нарушалась эквивалентность преобразований, необходи-мо производить переименование связанных переменных так, как в формулах 3)-4). Смысл переименования заклю-чается в том, что фактически первое и второе вхождение связанных переменных независимы - переменные играют роль индексов, принимающих предписанные им значения.

Рассмотрим применение данного преобразования на примере. Для того, чтобы вынести вперед квантор х, необ-ходимо заменить все вхождения переменной х в подфор-муле  y((Q(x,у)  Р(х)) & (Р(х)  Q(x,у))), иначе окажут-ся связанными все свободные вхождения х в нее. Заменяя в этой подформуле х на z и вынося квантор, получим:

А = х(( Р(х)   y((Q(z,у)  Р(z)) & (Р(z)  Q(z,у))) .

217

При вынесении квантора  у изменения области дей-ствия квантора не происходит. В результате формула приоб-ретает следующий вид:

А = х y (( Р(х))  ((Q(z,у)  Р(z)) & (Р(z)  Q(z,у))) .

После вынесения кванторов в начало формулы её можно представить в виде:

А= (Q₁ (x₁) Q₂ (x₂)...Q_n (x_n))M(x₁, x₂ ,...,x_n ).

Матрица M(x₁, x₂ ,...,x_n ) не содержит кванторов и логи-ческих операций, помимо (,, &).

5. Раскрыть в матрице все конъюнкции, содержащиеся внутри дизъюнкций.

Цель операции - представить матрицу в виде конъ-юнкции дизъюнктов.

Для раскрытия применяем правило:

B  (C&D)  (BC) & (BD).

В примере применение этого правила к матрице при-водит её к виду:

M= (( Р(х))  ((Q(z,у)  Р(z)) & (Р(z)  Q(z,у)))= ( Р(х)  Q(z,у)  Р(z)) & ( Р(х)   Р(z)  Q(z,у)).

В итоге у рассмотренной формулы пренексная нор-мальная форма будет следующей:

А =х y ((Р(х)Q(z,у)Р(z)) & ( Р(х)  Р(z) Q(z,у))).

Отметим, что пренексная нормальная форма с матри-цей в виде конъюнкции дизъюнкций с точностью до обо-значения переменных эквивалентна исходной формуле.

Задачи.

1.Указать, в каких случаях необходимо произвести пере-именование переменных при вынесении кванторов:

а)xy(Р(х,y)Q(x)) zR(x,y,z); б)xy zuR (х, y, z,u) &yB(х, y); в) xyA(x, y)& xy B(х, y); г) xyA(x,y,z)   xyB(х,y); д) xy A(x,y) xy((B(х,y)  C(x,z)); е) xyz(A(х,y) B(x,z))zC(x, y, z) ; ж) xyu A(x, y, z, u)   xy B(х, y, z, u).

218