30. Методи знаходження оптимальних стратегій гравців.

При аналізі платіжної матриці можливі 2 випадки:

Випадок 1. Платіжна матриця має сідлову точку. Оскільки прийнято умову максимальної розумності гравців, то саме ті рядок і стовпець, які відповідають сідло вій точці, і є оптимальними стратегіями.

Стратегії, які відповідають сідло вій точці, є найбільш вигідними для обох гравців, і вони називаються чистими стратегіями.

Метод вибору стратегії на основі сідловок точки називаються «принцип мінімаксу», який інтерпретується так: чини так, щоб при найгіршій для тебе поведінці супротивника одержати максимальний виграш.

Випадок 2. Платіжна матриця не має сідловок точки. Це найбільш поширений випадок. У цій ситуації теорія пропонує використовувати змішані стратегії, тобто стратегії, у яких випадковим чином чергуються особисті стратегії.

Точний метод пошуку оптимальної змішаної стратегії зводиться до задачі лінійного програмування, хоч і не є складний, але трудомісткий. Розглянемо принцип знаходження змішаних стратегій.

Якщо в матричній грі відсутня сідловка точка в чистих стратегіях, то знаходять (при чому ). У такій ситуації можна одержувати виграші, які в середньому більші від , але менші від .

Змішана стратегія гравця – це повний набір застосування його чистих стратегій при багаторазовому повторенні гри в тих самих умовах із заданними ймовірностями.

Умови застосування змішаних стратегій є наступними:

• Гра без сідловок точки;

• Гравці використовують випадкове поєднання чистих стратегій із завданнями ймовірностями;

• Гра багаторазово повторюється у подібних умовах;

• При кожному з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем4

• Допускаються усереднення результатів ігор.

• Для гравця А змішана стратегія, що полягає у застосуванні чистих стратегій А₁, А₂,…, А_m з відповідними ймовірностями р₁, р₂,…, р_m позначається матрицею

• S₁ = , при умові, що де р_і – ймовірність застосування і-ої стратегії гравцем А.

• Для гравця В відповідно: S₁ = , приумові, що де q_i –ймовірність застосування j-ої стратегії гравцем В.

• При заданих векторах та та знаючи платіжну матрицю, можна визначити середній виграш гравця А: де – ціна гри, тобто середній виграш гравця А при використанні обома гравцями змішаних стратегій.

• Отже, розв’язком матричної гри є: 1) – оптимальна змішана стратегія гравця А; 2) – оптимальна змішана стратегія гравця В; 3) – ціна грн..

• Змішані стратегії будуть оптимальними, якщо вони утворюють сідлову точку для функції М(А, ).

• А, ) (максимін це , а мінімакс це ), при чому .

• Слід зазначити, що при виборі оптимальної стратегії, гравцю А завжди буде гарантований середній виграш, не менший, ніж , за будь-якої фіксованої стратегії гравця В (а для гравця В навпаки).

31. Сутність теоретико-ігрової моделі.

Під теорією гри розуміють теорію математичних моделей та методів, пов’язаних з прийняттям раціональних рішень в умовах конфлікту та невизначеності. Широко відомою моделлю прийняття рішень в умовах невизначеності є статична модель, породжена теоретико-ігровою концепцією.

Згідно з концепцією теорії гри ситуація прийняття рішень характеризується множиною {X;  ; F}, де Х — множина рішень (стратегій) суб’єкта керування (1-го гравця),  — множина станів (стратегій) економічного середовища (ЕС) (2-го гравця), F = {f(x, ); х  Х;   } — функціонал оцінювання (ФО), визначений на множині Х   і такий, що набуває значення з простору (одновимірного простору), функція f(x, ) — функція виграшу 1-го гравця (суб’єкта керування).

Для дослідження статистичних моделей за умов невизначеності, конфліктності й зумовленого ними ризику використовують схему гри з економічним середовищем. Під економічним середовищем зазвичай розуміють сукупність невизначених чинників (зокрема, й економічних), які впливають на ефективність рішення. Складовими такої гри є :

1. перший гравець ― суб’єкт прийняття рішення (СПР), вибір стратегії поведінки якого базується на множинні взаємовиключних рішень (стратегій), одне з яких йому необхідно обрати;

2. другий гравець — економічне середовище, яке може перебувати в одному з n взаємовиключних станів що утворюють множину сценаріїв , один із яких обов’язково настане;

3. відсутність у СПР апріорної інформації про те, в якому зі своїх станів перебуватиме економічне середовище (які рішення прийме другий гравець);

4. точне знання СПР функціонала оцінювання , елемент якого є кількісною оцінкою ефективності результату в разі вибору ним стратегії при реалізації стану економічного середовища Функціонал оцінювання F називають також матрицею гри, або платіжною матрицею.