25. Оптимізація структури портфеля. Задача збереження капіталу.

Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб ризик цього портфеля був мінімальним. Формальна постановка цієї задачі така:

;

Розв’язку задачі відповідає точка О^* на рис. 7.6. Метод знаходження структури ПЦП, що задовольняє умову поставленої задачі, базується на побудові та знаходженні точки мінімуму відповідної функції Лагранжа, яке, в свою чергу, зводиться до розв’язання наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь [4]:

(7.9)

Тут  — додаткова змінна (невідома величина) поява якої спричинена використанням методу Лагранжа.

Слід мати на увазі, що метод Лагранжа, запропонований для розв’язання поставленої задачі, не враховує обмежень щодо невід’ємності величин x_k, тобто що x_k  0; k = 1, ..., N. А тому розв’язок системи (7.9) необхідно проаналізувати з цієї позиції.

Позначимо через Х^* = {x_1*; x_2*;…; x_N*} розв’язок системи (7.9). Якщо всі компоненти вектора Х^* є додатними (x_k* > 0, k = 1, ..., N) то цей вектор описує структуру оптимального ПЦП, що відповідає точці О^*(рис.7.6).

Якщо серед компонент Х^* виявляться від’ємні, то в шуканий ПЦП не включається той ЦП, частка якого є від’ємною і найменшою серед отриманих від’ємних часток. Після вилучення цього ЦП знову розраховується структура оптимального ПЦП, складеного з (N – 1) ЦП. Процес вилучення такого роду «несприятливих» ЦП продовжується до тих пір, поки частки всіх ЦП, включених у портфель, не стануть позитивними.

Рис. 7.6. Геометрична інтерпретація задач щодо формування різних видів ПЦП

26. Оптимізація структури портфеля. Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку

Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб сподівана норма прибутку цього портфеля була не меншою від зафіксованого рівня m_c (m_c = const) і його ризик при цьому був мінімальним. Формально цю задачу запишемо у вигляді таких спів­відношень:

Розв’язку задачі одержання прибутку відповідає точка «К» на рис.7.6. Для знаходження структури ПЦП, що задовольняє умовам поставленої задачі, як і раніше, скористаємось методом Лагранжа [4], який зводиться до знаходження розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

, (7.10)

де ₁, ₂ — додаткові змінні (невідомі величини), поява яких спричинена використанням методу Лагранжа.

27. Оптимізація структури портфеля. Включення в портфель безризикових цінних паперів. Розрахунок структури ринкового портфеля.

Включення в портфель безризикових цінних паперів

Розв’язання задачі формування оптимального ПЦП набуває нових особливостей, якщо врахувати факт існування на ринку як ризикових, так і безризикових ЦП (або майже безризикових) типу державних зобов’язань з фіксованою нормою прибутку.

А тому постає задача правильного розподілу капіталу між безризиковими та ризиковими вкладеннями.

Нехай х — частка капіталу, що її інвестор розмістив у вигляді портфеля Е(m_E; _E), сформованого на основі ризикових вкладень. Тоді (1 – х) — частка засобів, розміщена під фіксований відсоток R_F у безризикові ЦП. Норма прибутку від такого розміщення капіталу становитеме:

R_П = (1 – x) R_F + xR_E,

а сподівана норма прибутку —

m_П = (1 – x) R_F + xm_E .

Ризик такого розміщення характеризується величиною

Оскільки для безризикових ЦП _F = 0, _EF = 0, то

,

тобто величина частки х задовольняє співвідношення:

х = _П /_Е .

Тоді

.

Рівняння

,

або ж

(7.17)

є рівняннями прямої у двовимірному просторі (m – ). Ця пряма називається лінією ринку капіталів і характеризує ПЦП, що складаються як з безризикових ЦП, так і з ЦП, обтяжених ризиком.

Якщо Е(m_E; _E) є точкою дотику лінії ринку капіталів до множини ефективних портфелів (рис. 7.7), то цю точку називають ринковим (ефективним) портфелем.

На рис. 7.7 пряма R_FN (лінія ринку капіталів) являє собою множину оптимальних розв’язків, що характеризуються пропорційним (сталим) співвідношенням приросту норми прибутку до зростання ступеня ризику.

Якщо х = 0, то це означає, що весь капітал інвестор вкладає у безризикові ЦП. Якщо ж х = 1, то це означає, що весь капітал вкладається у ринковий портфель Е(m_E; _E).

Рис. 7.7. Урахування в ПЦП безризикових цінних паперів

У випадку, коли 0 < x < 1, то задачу розподілу капіталу між ризиковими та безризиковими ЦП можна розглядати як ситуацію надання кредиту (інвестування) під фіксований відсоток R_F.

Величина х > 1 у випадку, коли інвестор може скористатись позичкою та інвестувати у ринковий портфель Е(m_E; _E) більше, ніж величина його власного початкового капіталу (отримання кредиту).

Розрахунок структури ринкового портфеля

Запишемо рівняння (7.17) у вигляді:

.

Оскільки — модифікований коефіцієнт варіації ринкового портфеля Е(m_E; _E), який має негативний інгредієнт ( ), то задача розрахунку його структури зводиться до знаходження такого портфеля з множини допустимих портфелів, який задовольняв би умову:

,

де .

Іншими словами, ринковим є такий ПЦП з множини допустимих портфелів, який забезпечує мінімум відношення між зростаючим ступенем ризику та додатковим прибутком порівняно з ЦП, що мають фіксовану норму прибутку.

Розв’язання поставленої задачі зводиться [2] до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

, (7.18)

де . Враховуючи, що

,

отримуємо:

.