Исследование на плоскости уравнения второй степени

Рассмотрим уравнение:

где среди коэффициентов есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно и .

Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: , которую будем называть старой, и новую, полученную из поворотом ее вокруг начала координат на угол , .

Старые координаты выражаются через новые координаты по формулам:

Подставив выражения для и в уравнение (8), получим:

Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе .

Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла в (7.10) можно добиться того, что . Для этого угол надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать , тогда уравнение (7.11) примет вид:

Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению:

29. Параллельный перенос и поворот системы координат на плоскости.

Мы рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. При параллельном переносе системы координат сохраняется направление координатных осей, но меняется положение начала координат .

Пусть Оху - "старая" система координат, а О'х'у' - "новая" система координат. Пусть произвольная точка Мимеет координаты (х, у) в "старой" системе, и она же имеет координаты (х', y')в новой системе, кроме того, пусть новое начало O' имеет координаты (а, b) в "старой" системе (рис. 12).

Тогда

Т.к. при параллельном переносе осей координат базис не меняется, то при сложении векторов можно складывать их координаты.

Следовательно, имеем

Формулы (42) есть формулы перехода, связывающие "старые" и "новые" координаты.

30. Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду.

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение коэффициент которого a'₁₂ будет равен

Приравнивая коэффициент a'₁₂ к нулю, получим тригонометрическое уравнение Отсюда получаем Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α : Следовательно, уравнение кривой в новых координатах O'x'y' примет вид: Если в уравнении (50)  , то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа;  если же  , то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов a'₁₁ или a'₂₂ равен нулю, то уравнение (50) определяет линию параболического типа. Далее с помощью параллельного переноса системы координат O'x'y' уравнение (50) всегда можно привести к виду: т.е. фактически к каноническому виду.

Из уравнения (51) следует, что мы имеем либо эллипс (если a'₁₁ и a'₂₂ одного знака, а a"₀противоположного),  либо мнимое место точек (если a'₁₁, a'₂₂, a"₀ имеют один знак),  либо одну точку (если a'₁₁ и a'₂₂ имеют один знак, а a"₀ = 0),  либо гиперболу (если a'₁₁ и a'₂₂ разных знаков и a"₀ ≠ 0),  либо две пересекающие прямые (если a'₁₁ и a'₂₂ разных знаков и a"₀ = 0). Если же в уравнении (50) один из коэффициентов a'₁₁ и a'₂₂ , например, a'₂₂ обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведется к каноническому уравнению параболы   при a'₂₂ ≠ 0 или к виду   при a'₂₂ = 0, что дает или две параллельные прямые, или мнимое место точек.

Отсюда следует, что всякая кривая 2-го порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо представляет собой их "вырождение".