Закон Ома для последовательно соединенных rlc цепей
,
,
,
.
Дано:
.
,
то есть требуется найти закон изменения
тока. Это неоднородное дифференциальное
уравнение. Если в правой части стоит 0,
то однородное дифференциальное уравнение
описывает замкнутую накоротко цепь.
При этом энергия на конденсаторе и
катушке быстро расходится через
сопротивление
.
Полное
решение этого уравнения складывается
из частного решения неоднородного
уравнения и общего решения однородного.
Будем искать частное решение неоднородного
уравнения в виде
(1), где
подлежат определению.
Продифференцируем уравнение (1) по и запишем в виде:
.
(2)
Найдём
и
:
;
.
Подставим эти уравнения в (1):
.
Имеем синус и косинус разности:
.
Для
любого момента времени сумма коэффициентов
и
,
тогда имеем систему:
где в первом уравнении - коэффициенты при , во втором - . Решая данную систему, получаем:
(1),
(2).
Анализируя данное решение видно, что ток зависит от частоты.
Зависимость тока от частоты.
1)
.
- частота, при которой наступает резонанс
(в данном случае ток максимален).
,
.
Пусть
.
Тогда из (1) получаем
- в этом случае знаменатель минимален
и ток максимален.
Рассмотрим два крайних случая.
2)
(малые
частоты)
т. е. с уменьшением частоты цепь начинает
носить более ёмкостной характер (цепь
ведёт себя как ёмкость).
.
3)
То есть,
(цепь ведёт себя как индуктивность).
Угол сдвига фаз.
1)
.
2)
.
3)
.
Построим векторную диаграмму:
П
ри
построении мы использовали соотношение
.
Ток отстаёт от напряжения на индуктивности
на
за счёт электромагнитной индукции. На
конденсаторе напряжение отстаёт от
тока на
.
Резонанс напряжений.
В случае резонанса
.
Ток одинаков, следовательно
,
то есть
.
При этом угол
равен 0. Векторная диаграмма для этого
случая изображена слева.
На резонансе цепь ведёт себя, как на активном сопротивлении. Ток имеет максимальное значение:
,
и
меняются в противофазе.
Напряжения на емкости и индуктивности на резонансной частоте не достигают своих максимальных значений.
Найдем частоты, при которых напряжения на емкости и индуктивности достигают своих максимальных значений.
.
Напряжение будет максимально, когда будет минимально выражение под корнем. Следовательно:
,
,
то есть
.
Следовательно, напряжение на конденсаторе достигает максимума при частоте, меньшей частоты резонанса.
Аналогично для катушки:
,
.
Следовательно, напряжение на индуктивности достигает максимума при частоте, большей частоты резонанса.
Мощность цепи переменного тока
Согласно
определению, мощность – это произведение
тока на напряжение. Если
- мгновенная мощность, то
.
(1)
Введём в рассмотрение среднюю мощность за период:
.
,
т. е. средняя мощность равна постоянной составляющей мгновенной скорости (не зависит от времени).
Для
цепи переменного тока имеется постоянный
поток энергии от источника в нагрузку,
который не зависит от времени (первое
слагаемое в (1)) и равен средней мощности
и колеблющейся части мощности, которая
с частотой
колеблется между источником и нагрузкой
(вторая часть уравнения (1)).
Если
в качестве нагрузки использовать
идеальную индуктивность или идеальную
ёмкость, тогда сдвиг фаз
и
.
То есть, необратимого потока из источника
в нагрузку нет, а имеются только колебания
между источником и нагрузкой. Такие
сопротивления называются безватными
сопротивлениями.
(2) - характеристика технических устройств,
где
- активная мощность,
-
полная мощность.
показывает, какую часть от полной
мощности
составляет активная мощность.
Из (2) имеем:
,
то есть, чем выше , тем при меньшем значении тока в цепи идёт преобразование электрической энергии в другие виды энергий.
Резонанс токов.
В
цепи на рисунке справа
.
.
При
следует, что
.
Значит, общий ток будет
минимален:
.
Векторная диаграмма для этого случая:
