Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A = (a_ij) размера m×n и вещественного числа α называется матрица того же размера C = (c_ij), элементы которой определяется формулой

cij = αaij     (i = 1, …, m,   j = 1, …, n)

То, что матрица C является результатом умножения матрицы A на число α, записывается в виде C = αA.

Свойства умножения матрицы на число

Для любой матрицы A и любых чисел α, β  R:

• 1·A = A;

• α(βA) = (αβ)A;

Оерации сложения матриц и умножения матрицы на число согласованы следующим образом. Для любых матриц A и B одного и того же размера и любых чисел α, β  R:

• (α + β)A = αA + βA;

• α(A + B) = αA + αB.

Операции сложения и умножения на число называют линейными операциями.

10. Умножение матриц, свойства. Пример.

Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.

Пример. 

Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата

Элемент c_i,j матрицы – ответа принадлежащий i-ой строке и j-му столбцу, вычисляется как произведение i-ой строки первого сомножителя A_n,m на j-ый столбец второго сомножителяB_m,k. Так, например, при вычислении элемента умножается первая строка на третий столбец, а при вычислении элемента умножается третья строка на первый столбец.

Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов).

Рассмотрим умножение матриц на примере :

где

Пример. 

Отметим основные свойства операции произведения матриц.

1) В общем случае  . Если   то матрицы А и Вназываются перестановочными по отношению друг к другу.

2) 

3) 

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется 

11. Транспонирование матриц, свойства. Обратная матрица и её свойства. Транспонирование матриц

Если в матрице А_mn поменять местами строки и столбцы, получим транспонированную матрицу A_nm^т.

Пример.

Свойства транспонирования:

(А^т)^т = А; (А + В)^т = А^т + В^т; (А В С)^т = С^тВ^тА^т - транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, записанных в обратной последовательности. Если А = А^т, матрица симметрична.

Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.

        Определение 14.5   Пусть   -- матрица размеров   . Тогда транспонированной матрицей   называется такая матрица   размеров   , что   ,  ,   .         

Транспонированная матрица   обозначается   или   . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,

Читатель легко проверит, что

где   -- число.

        Предложение 14.5   Если произведение   определено, то

(14.8)

        Доказательство.     Пусть   -- матрица размеров   ,    -- матрица размеров   . Тогда   имеет размеры   ,    -- размеры   . Число столбцов в  совпадает с числом строк в   , поэтому произведение   на   определено. Размеры этого произведения   . Матрица   имеет размеры   , поэтому    -- матрица размеров   . Итак, матрицы в правой и левой части равенства (14.8) существуют и имеют одинаковые размеры.

Пусть   ,   ,   ,   ,   . Нам нужно показать, что   ,   ,   .

По определению транспонирования   . По определению умножения матриц

(14.9)

С другой стороны,

Поэтому

Сравнивая полученный результат с (14.9), получаем   .