- •Определители поля. Примеры поля комплексных чисел?
- •Алгебраическая запись комплексного числа. Операции над комплексными числами, их св-ва?
- •Сопряжения и его свойства?
- •4.Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула муравла.
- •Извлечение корня n-степени из комплексного числа?
- •6.Многочлены. Деление многочленов с остатком?
- •7.Теорема Декарта-Безу, схема Горнера. Пример
- •Доказательство
- •8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Пример. Основная теорема алгебры. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
- •Следствие
- •Действительная функция комплексного переменного f(X) непрерывная в замкнутом круге е достигает своего минимума и максимума.
- •Предположим, что это не верно тогда
- •9. Матрицы. Сложение матриц, умножение матриц на число, их свойства.
- •Умножение матрицы на число
- •Свойства умножения матрицы на число
- •10. Умножение матриц, свойства. Пример.
- •11. Транспонирование матриц, свойства. Обратная матрица и её свойства. Транспонирование матриц
- •Транспонирование матрицы
- •Обратная матрица
- •12.Элементарные преобразования строк и столбцов матриц, их матричная интерпретация.
- •18. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложения определителя по строке.
- •23.Невырожденная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •25. Пространство решений однородной слу. Фундаментальная система решений.
- •27.Структура множества решений слу. Способы решений. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •Правило Крамера
- •Условие совместности системы линейных уравнений
- •28. Пространство геометрических векторов. Операции с векторами и свойства.
- •29. Коллиниарность, комплонарность и линейная зависимость векторов.
- •Линейная зависимость векторов
- •30. Проекция вектора на ось, свойства.
- •31. Скалярное произведение. Критерий ортогональности векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов
- •32. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Длина вектора и угол между ними. Пример.
- •Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
- •Длина вектора Понятие вектора
- •33. Определение векторного и смешенного произведения векторов. Критерии комплонарности и колинеарности векторов в координатной форме. Площадь паралеограма и объём параллелепипеда.
- •34.Свойство векторного и смешенного произведения. Геометрические свойства векторного произведения Править
- •Алгебраические свойства векторного произведения Править
- •Выражение для векторного произведения в декартовых координатах Править
- •Свойства
- •35.Выражение векторного и смешенного произведения через координаты векторов.
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •36.Пдск. Координаты точки и координаты векторов. Преобразование координат при переходе к другой пдск.
- •Система координат и координаты вектора
- •37. Пск. Формулы перехода в пдск. Другие системы координат. Полярные координаты
- •[Править]Цилиндрические координаты
- •[Править]Сферические координаты
- •[Править]Обозначения, принятые в Америке
- •[Править]Европейские обозначения
- •38. Понятие об уравнении фигуры. Объединение пересечение фигур.
- •39. Уравнения примой на плоскости.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •40. Уравнение плоскости.
- •41. Уравнение прямой в пространстве.
- •42. Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Пример. Угол между прямыми на плоскости
- •Угол между плоскостями
- •43. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между прямыми, между плоскостями. Пример. Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •44. Эллипс. Директрисы и оптические свойства гиперболы. Ллипс
- •46. Парабола. Парабола
- •47. Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
- •48. Собственные числа, собственные векторы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •49. Привидение в квп к каноническому виду.
- •50. Поверхности второго порядка. Метод сечений. Поверхности второго порядка
18. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложения определителя по строке.
23.Невырожденная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
Невырожденной матрицей называется квадратная матрица -го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.
Определение. Матрицей, союзной к матрице , называется матрица
,
где ij – алгебраическое дополнение элемента ij данной матрицы .
Напомним, что матрица -1 называется обратной матрице , если выполняется условие -1 -1 , где – единичная матрица того же порядка, что и матрица .
Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть
Составим союзную матрицу
и инайдем произведение матриц A,A*
Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что
Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде
Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем
25. Пространство решений однородной слу. Фундаментальная система решений.
В этом параграфе мы введем и изучим понятия фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы (ЛОС) и покажем, что операторы gt0t, Kt0 иgt0t выражаются через фундаментальную матрицу. Общего способа для отыскания фундаментальной матрицы системы с переменными коэффициентами нет, однако сам факт ее существования играет в теории дифференциальных уравнений важную роль. |
3.2.1. Утверждение о структуре множества решений ЛОС. Рассматривается линейная однородная система
x′ = A(t)x. |
(ЛОС) |
Пусть E — множество всех ее решений на промежутке J, а φ = {φ1, ..., φn} ⊂ E. Утверждается, что:
1) E — n-мерное подпространство пространства C1 непрерывно дифференцируемых на J функций со значениями в Kn;
2) следующие утверждения эквивалентны
φ — базис в E, |
(1) |
∃(t0 ∈ J)[φ(t0) = {φ1(t0), φ2(t0), ..., φn(t0)} — базис в Kn], |
(2) |
∀(t0 ∈ J)[φ(t0) = {φ1(t0), φ2(t0), ..., φn(t0)} — базис в Kn]. |
(3) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение 1) вытекает из свойств мономорфизма (см. п. 3.1.4), поскольку E = Gt0(Kn) ⊂ C1. Далее, импликация (2) ⇒ (1) следует из того, что мономорфизм Gt0 переводит базис в базис. Поскольку импликация (3) ⇒ (2) очевидна, остается доказать, что (1) ⇒ (3). Но это следует из того жеутверждения о свойствах мономорфизмов, примененного к обратному оператору Gt0–1. |
Заметим, что для произвольного набора функций φk, не связанных с (ЛОС), импликация (1) ⇒ (3) может быть ложной. Например, скалярные функции φ1(t) ≡ 1,φ2(t) ≡ t на [0, 1] линейно независимы, а их значения в любой точке t0 линейно зависимы.
3.2.2. Определение фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы. Фундаментальной системой решений (ЛОС) называется любой базис в пространстве решений E. Фундаментальная матрица Φ(t) — матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений.Фундаментальная матрица Φt0(t), нормальная в точке t0, выделяется из множества всех фундаментальных матриц условием Φt0(t) = I (I — единичная матрица). |