- •Определители поля. Примеры поля комплексных чисел?
- •Алгебраическая запись комплексного числа. Операции над комплексными числами, их св-ва?
- •Сопряжения и его свойства?
- •4.Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула муравла.
- •Извлечение корня n-степени из комплексного числа?
- •6.Многочлены. Деление многочленов с остатком?
- •7.Теорема Декарта-Безу, схема Горнера. Пример
- •Доказательство
- •8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Пример. Основная теорема алгебры. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
- •Следствие
- •Действительная функция комплексного переменного f(X) непрерывная в замкнутом круге е достигает своего минимума и максимума.
- •Предположим, что это не верно тогда
- •9. Матрицы. Сложение матриц, умножение матриц на число, их свойства.
- •Умножение матрицы на число
- •Свойства умножения матрицы на число
- •10. Умножение матриц, свойства. Пример.
- •11. Транспонирование матриц, свойства. Обратная матрица и её свойства. Транспонирование матриц
- •Транспонирование матрицы
- •Обратная матрица
- •12.Элементарные преобразования строк и столбцов матриц, их матричная интерпретация.
- •18. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложения определителя по строке.
- •23.Невырожденная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •25. Пространство решений однородной слу. Фундаментальная система решений.
- •27.Структура множества решений слу. Способы решений. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •Правило Крамера
- •Условие совместности системы линейных уравнений
- •28. Пространство геометрических векторов. Операции с векторами и свойства.
- •29. Коллиниарность, комплонарность и линейная зависимость векторов.
- •Линейная зависимость векторов
- •30. Проекция вектора на ось, свойства.
- •31. Скалярное произведение. Критерий ортогональности векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов
- •32. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Длина вектора и угол между ними. Пример.
- •Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
- •Длина вектора Понятие вектора
- •33. Определение векторного и смешенного произведения векторов. Критерии комплонарности и колинеарности векторов в координатной форме. Площадь паралеограма и объём параллелепипеда.
- •34.Свойство векторного и смешенного произведения. Геометрические свойства векторного произведения Править
- •Алгебраические свойства векторного произведения Править
- •Выражение для векторного произведения в декартовых координатах Править
- •Свойства
- •35.Выражение векторного и смешенного произведения через координаты векторов.
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •36.Пдск. Координаты точки и координаты векторов. Преобразование координат при переходе к другой пдск.
- •Система координат и координаты вектора
- •37. Пск. Формулы перехода в пдск. Другие системы координат. Полярные координаты
- •[Править]Цилиндрические координаты
- •[Править]Сферические координаты
- •[Править]Обозначения, принятые в Америке
- •[Править]Европейские обозначения
- •38. Понятие об уравнении фигуры. Объединение пересечение фигур.
- •39. Уравнения примой на плоскости.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •40. Уравнение плоскости.
- •41. Уравнение прямой в пространстве.
- •42. Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Пример. Угол между прямыми на плоскости
- •Угол между плоскостями
- •43. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между прямыми, между плоскостями. Пример. Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •44. Эллипс. Директрисы и оптические свойства гиперболы. Ллипс
- •46. Парабола. Парабола
- •47. Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
- •48. Собственные числа, собственные векторы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •49. Привидение в квп к каноническому виду.
- •50. Поверхности второго порядка. Метод сечений. Поверхности второго порядка
8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка.
Установление компланарности векторов
Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и свычисляется как V =|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*|abc |.
Пример 6.3.
Вершинами пирамиды служат точки А(1; 2; 3), В(0; -1; 1), С(2; 5; 2) и D (3; 0; -2). Найти объем пирамиды.
Решение: Находим векторы а,b ис:
а=AB =(-1;-3;-2), b =АС=(1;3;-1), с=AD =(2; -2; -5).
Находима, b и с:
=-1•(-17)+3•(-3)-2•(-8)=17-9+16=24.
Следовательно, V =1/6*24=4
36.Пдск. Координаты точки и координаты векторов. Преобразование координат при переходе к другой пдск.
Декартовые координаты вектора в ПДСК на плоскости и в пространстве.
Мы рассмотрим сразу общий случай координатного пространства.Координатная плоскость будет частным случаем, хотя можно все рассуждения повторить (практически дословно) и для плоскости.
Пусть М – произвольная точка координатного пространства Охуz.
Определение. Вектор называется радиус-вектором точки М.
Введем обозначения:
, , .
Или, для произвольного вектора :
, , .
Определение. Проекции вектора на координатные оси называются его декартовыми координатами.
Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.)
Координаты точки М в ПДСК в пространстве совпадают с декартовыми координатами её радиус-вектора.
Доказательство.
рис.9.
По определению, координаты точки М есть координатыточек на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно, т.е. , , . Так как точки М и лежат в плоскости перпендикулярной оси Ох, то . По аналогичной причине и . Отсюда и следуют доказываемые равенства:
, , .
Теорема доказана.
Заметим, что положение точки М в пространстве однозначно определяется ее координатами, т.е. существует взаимно однозначное соответствие между всеми точками пространства и упорядоченными тройками действительных чисел – их координатами. Вследствие этого, координатное пространство обозначают как декартов куб множества действительных чисел: . (Соответственно координатную плоскость как декартов квадрат множества действительных чисел: )
Далее, очевидно, существует биекция и между всеми точкамипространства и их радиус-векторами, а значит и между радиус-векторами точек пространства и , т.е
их декартовыми координатами как упорядоченными тройками действительных чисел:
. (1)
В силу этого взаимно однозначного соответствия принято отождествлять радиус-вектор с упорядоченной тройкой его декартовых координат:
.
. (2)
Пусть – произвольный вектор пространства и, отложив его от начала координат, получим . Т.к. проекции вектора на оси не зависят от выбора точки его начала, то можно записать:
, (3)
т.е. существует взаимно однозначное соответствие между всемивекторами пространства и всеми упорядоченными тройками действительных чисел, их декартовыми координатами.
Отсюда сразу же вытекает следующая теорема.
Теорема. (О равенстве векторов.)
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их декартовые координаты.
Определение. Запись вектора в виде (2) или (3) называется егокоординатной формой записи.
Теорема. (О действиях с векторами в координатной форме.) При сложении векторов их декартовые координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая декартовая координата вектора умножается на это число.
Иначе, пусть , , . Тогда: 1) ;
2) .
Доказательство. Сразу же следует из свойств проекции вектора на ось:
. .
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Теорема. (О вычислении декартовых координат вектора.)
Для того, чтобы вычислить декартовые координаты вектора нужно изкоординат его конца вычесть координаты его начала.
Иначе, пусть и , – координаты его начала и конца. Тогда
(4)
Доказательство. Пусть О(0; 0; 0) – начало координат. Тогда по правилу треугольника сложения векторов
рис.10.
. Векторы и являются радиус-векторами точек А и В соответственно и их декартовые координаты совпадают с координатами этих точек: , . Применяя теорему о действиях с векторами в координатной форме, получаем
.
Теорема доказана.