3.7 Потенциальная точность определения доплеровского сдвига частоты.

Пусть сигнал с доплеровским сдвигом Ω будет представлен в виде

,

где s₁(t) – сигнал от неподвижного объекта с Ω=0.

Тогда корреляционный интеграл может быть представлен в виде:

Найдем вторую производную корреляционного интеграла.

Тогда вторая производная при Ω=Ω*

И дисперсия оценки доплеровского сдвига

(3.22)

Как известно, функция, являющаяся парой преобразования Фурье, подчиняется общему свойству, выражаемому соотношением F_эТ_э=D.

Для простых сигналов D имеет порядок 1. из этого соотношения, да и из анализа выражений (3.20) и (3.22) видно, что потенциальные ошибки измерения времени и доплеровской частоты взаимообратны.

4. Пространственно временная обработка сигналов.

4.1 Пространственно-временной сигнал.

Как уже указывалось ранее, во многих практических задачах сигнал в точке наблюдения является функцией, как времени, так и пространственных координат, т.е. является пространственно-временным. Рассмотрим основные понятия, связанные с пространственно-временным сигналом, на примере плоской скалярной монохроматической звуковой волны. Звуковое давление в точке наблюдения с координатами x, y, z в момент времени t равно:

(4.1)

Зависимость давления от координат может быть представлена в виде:

,

где - комплексная амплитуда, k_x ,k_y , k_z – компоненты волнового вектора, k=ω/c, , - вектор нормали к волновому фронту.

Поскольку , последние выражение можно представить в виде:

(4.2)

В линейных задачах справедлив принцип суперпозиции, т.е. решение волнового уравнения для волны самого общего вида может быть записано в виде суммы (интеграла) плоских волн с произвольными амплитудами, фазами и направлениями распространения:

(4.3)

Выражение (4.3) представляет произвольное по геометрии монохроматическое волновое поле в виде разложения по плоским волнам различных направлений k_x.k_y с соответствующими амплитудами g(k_x ,k_y). Для получения полного выражения для произвольной плоской волны надо домножить левую и правую части (4.3) на .

Располагая общим решением (4.3), можно найти решение, удовлетворяющее граничным условиям на плоскости Z=0.

Пусть задано давление на плоскости Z=0.

(4.4)

Это выражение представляет собой обратное двумерное преобразование Фурье от g(k_x,k_y) по k_x и k_y. Тогда прямое преобразование Фурье позволит определить комплексную функцию g(k_x,k_y).

(4.5)

Нетрудно отметить аналогично пары преобразований Фурье (4.4) и (4.5) с преобразованиями Фурье, связывающими временную функцию s(t) и ее спектр Φ(jω). Поэтому функцию g(k_x,k_y) можно представить, как “угловой спектр” волнового поля, а k_x,k_y – пространственные частоты. Определив “угловой спектр” из (4.5) и подставив его в (4.3), можно определить поле в произвольной точке с координатами x,y,z.

Приведенное рассмотрение может быть распространено и на случай не монохроматических волн. Для этого поле, заданное на выходной плоскости Z=0, p(x,y,0,t), нужно представить в виде разложения по монохроматическим волнам.

(4.6)

Для каждой частотной составляющей из (4.6) можно применить предыдущую схему решения и в итоге получить

(4.7)

где - угловой спектр составляющей с частотой ω.

Заметим, что на ряду с аналогиями в отношении временных и пространственных сигналов есть и важные различия. Во-первых, временные функции – действительные функции. Лишь использование преобразования Фурье приводит к появлению отрицательных частот, которые не несут ни какой дополнительной информации, т.к. спектры временных функций удовлетворяют условию: Φ(jω)=Φ*(-jω). В пространственных задачах вполне определенный физический смысл имеют и положительные, и отрицательные частоты k_x и k_y, определяющие распространение волн в положительных и отрицательных направлениях осей x и y.

Наиболее важное отличие состоит в импульсных характеристиках временных и пространственных фильтров. Если первые существуют лишь при t>0, т.к. отклик системы не может появиться раньше сигнала на входе, то пространственные характеристики реальны и при положительных, и при отрицательных значениях координат x и y.

Приведенное рассмотрение относится и к детерминированным сигналам, и к … сигналам. Оно может быть распространено и на случай электромагнитных волн, и на звуковые волны в твердых средах, однако при этом выражения усложняются из-за необходимости перехода к векторной форме записи.