3.5 Потенциальная точность определения параметра

Погрешность измерения параметров сигналов в любой измерительной системе обусловлена следующими причинами:

1. Флуктуациями, сопровождающими сигнал.

2. Изменениями измеряемого параметра в течение времени измерения.

3. Несовершенством измерительной аппаратуры.

Первая причина ограничивает потенциальную точность измерений, вторая – динамическую точность (динамическую ошибку), третья причина обуславливает инструментальную погрешность.

Рассмотрим потенциальную точность измерений. Она определяет предельную точность измерения параметра сигнала от неподвижного, неизменного во времени объекта при идеальной работе аппаратуры. При отыскании оценок параметров сигнала будем считать, что измеряемый параметр α в течение времени Т анализа и оценки остается постоянным. На входе измерителя действует смесь сигнала с шумом

х(t)=s(t,α)+n(t).

Известно, что сигнал с измеряемым параметром α существует в принятом колебании, и отношение сигнал/помеха δ>>1.

Найдем оптимальную оценку по критерию максимального правдоподобия. Для гауссовского белого шума и детерминированного сигнала мы можем записать функцию правдоподобия так же, как ранее записывали отношение правдоподобия:

l(x/α)=exp ,

где Z(x/α)= - корреляционный интеграл.

Представим его в виде:

.

Первый интеграл представляет собой корреляционную функцию сигнала, а второй – флуктуации на выходе коррелятора. Поскольку измерения производятся при δ>>1, то вторым интегралом – флуктуационным – можно пренебречь. В результате функцию правдоподобия можно записать в виде:

l(x/α)=l(α*/α)=Kexp .

Сигнальную составляющую корреляционного интеграла можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях точки α*=α, ограничиваясь тремя первыми членами:

Z_s(α*,α)=Z_s(α,α)+ Z_s’(α,α)(α-α*)+ Z_s’’(α,α)(α-α*)².

Первый член не содержит ошибки измерения. Второй член равен нулю, т.к. производная в точке экстремума равна нулю (оценка ведется по максимуму корреляционного интеграла). Таким образом, функция правдоподобия для оптимальной оценки измеряемого параметра

. (3.19)

При широком априорном распределении p(α), как мы уже говорили ранее, это выражение может рассматриваться как плотность распределения оценки α*. Видно, что закон этот гауссовский со средним и дисперсией

(3.20)

З десь

На рисунке изображен отклик коррелятора или согласованного фильтра на смесь произвольного сигнала с шумом

Истинное значение измеряемого параметра – α. Напряжение шума смещает максимум на величину α- α*, в силу чего появляется ошибка измерения.

Если измеряемым параметром является задержка τ сигнала, то вместо α нужно подставить τ. Если оценивается частота доплеровского сдвига Ω, то подставляется значение частоты, а отклик коррелятора или согласованного фильтра рассматривается как функция частоты. Таким образом, при измерении любого параметра сигнала выражение (3.20) определяет потенциальную погрешность измерения, обусловленную наличием шума во входной смеси x(t).