5. Основы цифровой обработки сигналов.

5.1 Модели дискретных сигналов

Простейшая математическая модель дискретного сигнала х_д(t) – это счетное множество точек {t_i} на оси времени, в каждой из которых определено отсчетное значение сигнала х_i. Отсчеты чаще всего берут через равные промежутки ∆, называемые интервалом (шагом дискретизации) ∆=t_m-t_m-1=t_m-1-t_m-2=…

Операцию дискретизации, т.е. переход от аналогового сигнала х(t) к дискретному х_д(t) можно описать, вводя в рассмотрение обобщенную функцию:

,

Называемую дискретизирующей последовательностью. Очевидно, дискретный сигнал х_д(t) может быть получен на практике перемножением обрабатываемого сигнала х(t) и гребенчатой функции η(t). Иначе, сигнал х(t) модулирует импульсную последовательность η(t). Таким образом, мы получаем модулированную импульсную последовательность (МИП).

Математическую модель идеальной импульсной последовательности можно определить, исходя из формулы динамического представления сигнала

Поскольку МИП определена лишь в точках t_k=k∆ (k=0,±1,±2…), интегрирование здесь нужно заменить интегрированием по k, роль же дифференциала dτ будет играть шаг дискретизации ∆. Тогда математическая модель модулированной импульсной последовательности, образованной бесконечно короткими импульсами, окажется заданной выражением:

, где (5.1)

Это выражение можно записать и так:

.

Известно, что спектр произведения двух сигналов пропорционален свертке их спектров. Поэтому если известны:

и

,

то комплексный спектр МИП

(5.2)

Чтобы найти спектр дискретизирующей последовательности, разложим периодическую функцию η(t) в комплексный ряд Фурье:

Коэффициенты этого ряда (n=0,±1,±2…)

,

т.е. спектр дискретизирующей последовательности состоит из бесконечной совокупности дельта - функций в частотной области. Данный спектр является функцией частоты с периодом .

Подставив последнее выражение в (5.2) и изменив порядок выполнения операций интегрирования и суммирования, получим:

(5.3)

Итак, спектр сигнала, полученного в результате идеальной дискретизации бесконечно короткими стробирующими импульсами, представляет собой сумму бесконечного числа “копий” спектра исходного сигнала. Копии располагаются на оси частот через одинаковые интервалы , равные значению угловой частоты первой гармоники дискретизирующей импульсной последовательности. При этом, если ширина спектра сигнала больше π/∆, то спектры перекрываются.

Ясно, что для исключения перекрывания “копий” нужно, чтобы верхняя граничная частота спектра ω_в была бы меньше π/∆:

Аналоговый сигнал с таким спектром, подвергнутой импульсной дискретизации, может быть совершенно точно восстановлен с помощью идеального ФНЧ, на вход которого подается МИП. При этом наибольший допустимый интервал дискретизации , что согласуется с теоремой Котельникова.

Пусть фильтр имеет коэффициент передачи:

Импульсная характеристика этого фильтра описывается выражением:

Так как МИП есть взвешенная сумма δ-функций, необходим отклик на выходе фильтра:

(5.4)

Он с точностью до масштабного коэффициента повторяет исходное колебание с ограниченным спектром – поскольку фактически это бесконечный ряд Котельникова.

Однако идеальный ФНЧ практически нереализуем. Реальный ФНЧ имеет АЧХ, которая либо охватывает несколько лепестков спектра МИП, либо, концентрируясь вблизи нулевой частоты, оказывается значительно уже центрального лепестка спектра. В любом случае реальный восстанавливающий фильтр неизбежно искажает входное колебание.

t

y(t)

C

х_мип

R

х_мип(t)

t

ω

│K│

ω

│K│

t

Заметим, что для восстановления сигнала можно использовать как центральный, так и любой боковой лепесток спектра.

Располагая МИП-сигналом, можно не только восстановить аналоговый сигнал, но и найти его спектр. Свяжем спектр МИП с отсчетными значениями:

(5.5)

Но для было уже и другое представление (5.3). Приравнивая (5.3) и (5.5), получим:

(5.6)

(5.6) известна как формула суммирования Пуассона.

Однозначно найти Φ_х (jω), зная левую часть равенства из результатов измерений, вообще говоря, невозможно из-за эффекта наложения копий спектра. Исключение составляет случай, когда заранее известно, что исходный сигнал х(t) имеет низкочастотный спектр, удовлетворяющий условию теоремы Котельникова. Тогда: