3.3 Основные положения байесовской теории измерений

Пусть на вход измерительного устройства поступает сигнал х(t), состоящий из информативного сигнала s(t,α,β), где α – случайный измеряемый параметр, β – случайный не измеряемый параметр, и флуктуационной помехи n(t). Требуется определить правило определения оценки α*, оптимальной с точки зрения критерия минимума среднего риска . Поскольку оценка α* закономерно устанавливается в зависимости от принятой реализации сигнала х, т.е. α*= α*(х), то и плата за ошибку будет теперь зависеть от выбора функции α*(х), т.е. r(α, α*)=[α*(x)]. Аналогично для элемента вероятности можно записать равенство:

p(α*, α)dα*dα=p(x,α)dxdα=p(x)p(α/x)dxdα

где p(x) – плотность распределения реализации входного сигнала; p(α/х) – апостериорная (послеопытная) плотность распределения параметра α.

Выражение для среднего риска (3.1) с учетом равенства (3.2) тогда запишется в виде:

(3.3)

где r[α*(x)/x]= (3.4)

условный средний риск, т.е. средний риск приема данной реализации х.

Минимум выражения (3.3) достигается тогда, когда для каждой принятой реализации достигается минимум условного среднего риска по уравнению (3.4).

Для отыскания условий минимизации выражения (3.4) необходимо установить функцию платы за ошибку r[α*(x)]. Рассмотрим некоторые возможные виды функций платы за ошибку или функции риска r(ε)=r(α*-α).

1. Простая функция риска

r(ε)=c-δ(α-α*), с=сonst (3.5)

Всем правильным отсчетам приписывается стоимость, равная -∞, а всем неправильным, независимо от величины ошибки, приписывают стоимость с.

2. Допустимая (ступенчатая) функция риска

r(ε)=0, │α-α*│<ε₀

0, │α-α*│<ε₀

Всем оценкам, абсолютная ошибка которых не превышает некоторой допустимой ε₀, приписывают нулевую стоимость, а оценкам с ошибкой больше ε₀ – постоянную стоимость с.

3. Линейная (модульная) функция риска

4. Квадратичная функция риска

r(ε)=c(α-α*)² (3.8)

r(ε)

-ε

ε

5. Функция риска с насыщением

r(ε)=1-еxp[-c(α-α*)²]

r(ε)

ε

-ε

Здесь учитывается, что зачастую стоимость ошибки не может расти неограниченно с ростом ошибки.

При использовании квадратичной функции риска оптимизация измерений сводится к достижению минимума среднеквадратичной ошибки. Выбор линейной (модульной) функции риска приводит к обеспечению минимума среднего модуля ошибки. Выбор ступенчатой функции риска обеспечивает минимум вероятности превышения модулем ошибки некоторого предела ε₀.

Пожалуй, чащу всего используется квадратичная функция риска. Подставляя ее в (3.4), получим:

(3.10)

Для нахождения оптимальной оценки α*_опт исследуем экстремум равенства (3.10):

откуда

=0 (3.11)

Поскольку при любом х, то из (3.11):

α*_опт(х)= =М[α/х] (3.12)

Оптимальная оценка соответствует в этом случае математическому ожиданию α при условии приема реализации х или среднему значению α, определенному по после опытной кривой распределения p(α/х). Другими словами, она соответствует центру тяжести кривой p(α/х). В силу равенства (3.11) такая оценка является несмещенной, т.е. М[α*-α]=0. Поэтому минимальный средний квадрат ошибки определяется дисперсией распределения после опытной плотности вероятности принятой реализации, т.е.

= =D(α/x)

Для модульной функции риска аналогично можно получить:

Или

Таким образом, оптимальная оценка при модульной функции риска r[α*(x)]=│α*- α│ Соответствует медиане после опытного распределения p(α/х). Тот же результат получается и для ступенчатой функции риска.

В большинстве прикладных задач функции распределения p(α/х) имеют симметрическую форму, например, гауссовскую. В этом случае центр тяжести распределения и его медиана совпадают с максимумом плотности распределения. Следовательно, в большинстве практически интересных случаев оптимальная байесовская оценка не зависит от выбора функции риска.